Слабая выпуклость и проксимальная гладкость множеств в банаховых пространствах . <...> Duality and calculi without exceptions for convex
objects . <...> Выпуклый анализ,
пространства Канторовича и булевозначные модели . <...> Эвристический принцип переноса и теорема Хана — Банаха . <...> Оптимальное восстановление операторов по неточной информации . <...> Неравенства для производных типа Ландау — Колмогорова и оптимальное восстановление . <...> Выпуклый анализ, тропическая алгебра
и обработка астрономических данных . <...> В сборнике публикуется их совместная работа «Выпуклый анализ, пространства
Канторовича и булевозначные модели». <...> Цикл докладов был посвящен теме «Идемпотентный анализ и выпуклость». <...> Пожалуй, самым впечатляющим в недавние годы было развитие темы «Выпуклой оптимизации». <...> Бринкхвиса и В. М. Тихомирова обсуждался единый подход к двойственности и исчислению выпуклых объектов. <...> В. М. Тихомиров
УДК 517.982.252
СЛАБАЯ ВЫПУКЛОСТЬ И ПРОКСИМАЛЬНАЯ
ГЛАДКОСТЬ МНОЖЕСТВ В БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ1 <...> М. В. Балашов, Г. Е. Иванов
Установлена взаимосвязь условий слабой выпуклости по Виалю и проксимальной гладкости множеств в банаховых пространствах. <...> [14] изучали прокс-регулярные и проксимально гладкие множества в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах с
модулями выпуклости и гладкости степенного вида. <...> Известно, что любое выпуклое замкнутое
множество на плоскости, шар в гильбертовом пространстве, а также множества, получаемые в результате достаточно малых гладких
деформаций шара в гильбертовом пространстве, являются порождающими множествами. <...> В настоящей работе показано, что в равномерно выпуклом и
равномерно гладком банаховом пространстве из слабой выпуклости
(по Виалю) замкнутого множества следует проксимальная гладкость
этого множества. <...> Обратное верно тогда и только тогда, когда шар
нормы пространства является порождающим множеством. <...> Доказаны теоремы о локальной связности и о диаметре
Слабая выпуклость и проксимальная гладкость <...>
Математический_форум._Т._2._Исследования_по_выпуклому_анализу.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ
НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. М. ЛОМОНОСОВА
ИТОГИ НАУКИ •ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ОКРУГ
С Е Р И Я
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРУМ
Т о м 2
ПО ВЫПУКЛОМУ АНАЛИЗУ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Владикавказ
2009
Стр.1
УДК 517
ББК 22.162.94
И 88
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук В. М. ТИХОМИРОВ
Математический форум. Т. 2. Исследования по выпуклому
анализу / отв. ред. В. М. Тихомиров—Владикавказ:ЮМИВНЦ
РАН, 2009.—242 с.—(Итоги науки. ЮФО).—ISBN 978-5-93000-053-5.
В сборник вошли работы, написанные по мотивам выступлений на семинаре
по выпуклому анализу, состоявшемся 2–5 февраля 2008 года в Московском
государственном университете им. М. В. Ломоносова. Собранные здесь статьи
дают определенное представление об итогах развития теории выпуклости и его
приложений и обрисовывают некоторые перспективы их дальнейшего развития.
Сборник адресован студентам старших курсов, аспирантам и всем, интересующимися
выпуклым анализом и его приложениями.
ISBN 978-5-93000-053-5
Южный математический институт
ВНЦ РАН и РСО-А, 2009
Московский государственный
университет им. В. М. Ломоносова, 2009
c
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабая выпуклость и проксимальная
гладкость множеств в банаховых пространствах . . . . . . . . . 7
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Свойства равномерно выпуклых и равномерно гладких
пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5. Свойства сильно выпуклого отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Доказательство основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Brinkhuis J. Duality and calculi without exceptions for convex
objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. The three duality formulas for convex cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. The three duality formulas for convex objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Duality of binary operations on convex objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5. On convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Галеев Э. М. О вложении пересечений конечномерных множеств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Карамзин Д. Ю. Исследование достаточных условий существования
регулярного нуля у квадратичных отображений . . . . . . . . 84
Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Выпуклый анализ,
пространства Канторовича и булевозначные модели . . . . . . . . . . . . . . 98
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1. Выпуклость и порядок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2. Пространство Канторовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3. Алгебры Буля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Эвристический принцип переноса и теорема Хана — Банаха . . . . . . . 108
5. Канонический сублинейный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6. Замена переменного в преобразовании Юнга — Фенхеля . . . . . . . . . . . 113
7. Выпуклый анализ в модулях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8. Булевозначный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9. Спуски и подъемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10. Булевозначные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11. Представление сублинейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12. Теорема Крейна — Мильмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13. Дезинтегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3
Стр.3