Lp(x) (E) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ
ôóíêöèé f (x), îïðåäåëåíûõ íà E , è òàêèõ, ÷òî
∫
|f (x)|p(x) µ(dx) < ∞,
E
ãäå p(x) íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà E .
 ñëó÷àå, åñëè E ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîìåæóòîê ñ êîíöàìè â òî÷êàõ a è b, ãäå a < b, òî ìû ïîëàãàåì
Lp(x) (a, b) = Lp(x) (E).
Ââåäåíèå
5
Åñëè 1 6 p(x) 6 p < ∞ ïðè x ∈ E , òî Lp(x) (E) ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì (ñì. [19]), â êîòîðîì îäíà èç ýêâèâàëåíòíûõ
íîðì îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (1). <...> Lp(x) (E) ìû íàõîäèì åùå â ðàáîòå Îðëè÷à [347], îïóáëèêîâàííîé â 1931 ã., â êîòîðîé îí èññëåäîâàë íåðàâåíñòâà òèïà Ãåëüäåðà
äëÿ ïðîñòðàíñòâ lpi , ñîñòîÿùèõ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xi } âåùåñòâåííûõ ÷èñåë xi , äëÿ êîòîðûõ
∑
|xi |pi < ∞.
i
 êà÷åñòâå ïðèìåðà áîëåå îáùèõ, òàê íàçûâàåìûõ ìîäóëÿðíûõ ïðîñòðàíñòâ, Lp(x) (E) âñòðå÷àåòñÿ â ðàáîòàõ ÿïîíñêèõ ìàòåìàòèêîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê 1950-ûì ãã. (ñì. [337, 338]). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìîäóëÿðíûå ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé ðàññìàòðèâàëèñü â ðÿäå ðàáîò ïîëüñêèõ ìàòåìàòèêîâ (ñì., íàïðèìåð, [336] è öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó).  ðàáîòå ðîññèéñêîãî ìàòåìàòèêà È. Â. Öåíîâà [397] âïåðâûå
áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ,
ïðè êîòîðûõ ïîëèíîì Q∗n (x) äîñòàâëÿåò ìèíèìóì èíòåãðàëà
∫b
|f (x) − Qn (x)|p(x) dx
a
ñðåäè âñåõ ïîëèíîìîâ âèäà
Qn (x) = a0 φ0 + a1 φ1 + . . . + an φn ,
ãäå {φk (x)}nk=0 ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà [a, b], ïðè÷åì f (x) è p(x) òàêæå íåïðåðûâíû. <...> Lp(x) (E)
âïåðâûå áûëî äàíî â ðàáîòå àâòîðà [19]. Â ðàáîòàõ àâòîðà [1924]
áûëè ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ïðèáëèæåíèé â ïðîñòðàíñòâàõ Lp(x) (E).  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [20] áûëî äîêàçàíî, ÷òî
ñèñòåìà Õààðà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Lp(x) (0, 1) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ïåðåìåííûé ïîêàçàòåëü p(x) ïðè x, y ∈ [0, 1] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Äèíè Ëèïøèöà
|p(x) − p(y)| ln
1
6 c.
|x − y|
(2)
6
Ââåäåíèå
À â [21] áûëî äîêàçàíî, ÷òî åñëè äëÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêîãî ïîêàçàòåëÿ
p(x) > 1 íà [−π, π] âûïîëíåíî óñëîâèå (2), òî íåêîòîðûå ñåìåéñòâà
îïåðàòîðîâ ñâåðòêè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû â Lp(x) (−π, π). Ñþäà,
â ÷àñòíîñòè, îòíîñÿòñÿ êëàññè÷åñêèå ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ Ôåéåðà,
Àáåëÿ Ïóàññîíà, Ñòåêëîâà è äð.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ïîñëåäíèå ãîäû òåîðèÿ ïðîñòðàíñòâ
Lp <...>
Некоторые_вопросы_теории_приближений_в_простарнствах_Лебега_с_переменным_показателем_.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
И Т О Г И Н А У К И • ЮГ Р О С С И И
С Е Р И Я
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОНОГРАФИЯ
Выпу с к 5
И. И. ШАРАПУДИНОВ
Некоторые вопросы
теории приближений
в постранствах Лебега
с переменным показателем
Владикавказ
2012
Стр.1
ББК 518.3
УДК 22.193
Ø-25
Ответственный редактор
ä. ô.-ì. í., профессор À.Ã. Кусраев
Рецензенты:
ä. ô.-ì. í., профессор À. Ê. Рамазанов,
ê. ô.-ì. í., доцент Ç.Ã. Меджидов
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований, проекты 07-01-00143-à, 10-01-00191-a.
Шарапудинов И. И.
Некоторые вопросы теории приближений в простарнствах Лебега
с переменным показателем / отв. ред. А.Г. Кусраев. Владикавказ:
ЮМИ ВНЦ РАН и ÐÑÎ-À, 2012. 267 ñ. (Èòîãè íàóêè. Юг Ðîññèè.
Математическая монография. Вып. 5).
Излагаются основы интенсивно развивающейся теории пространств Лебега с
переменным показателем. Рассмотрены некоторые вопросы теории приближений
в таких пространствах. Получены необходимые и достаточные условия на переменный
показатель, соблюдение которых гарантируют базисность таких классических
ортонормированных систем, как система Хаара, тригонометрическая
система, система полиномов Лежандра. Показано, что если переменный показатель
удовлетворяет условию Дини Липшица, то семейства классических операторов
Фейера, Абеля, Стеклова, Джексона и др. равномерно ограничены. Это
обстоятельство играет решающую роль при доказательстве прямых и обратных
теорем теории приближений.
Книга может быть полезна специалистам по теории функций и функциональному
анализу, теории приближений, инженерам и программистам, занимающимися
обработкой сигналов и изображений, студентам и аспирантам, интересующимися
приложениями математических методов к решению современных
проблем сжатия изображений.
ISBN 978-5-904695-14-9
⃝ Южный математический институт
ВНЦ РАН и ÐÑÎ-À, 2012
c
⃝ È. È. Шарапудинов, 2012
c
Стр.2
ВВЕДЕНИЕ
Пространства функций, интегрируемых с переменным показателем,
перестали играть роль экзотических примеров, так называемых
модулярных пространств, и вышли на самостоятельный путь развития
с того момента, когда было показано, что топология этих пространств
нормируема, и одна из эквивалентных норм определяется с
помощью хорошо известной теоремы А. Н. Колмогорова о нормируемости
линейных топологических пространств, в которых существует
ограниченная уравновешенная выпуклая окрестность нуля. Для
таких пространств А. Н. Колмогоровым еще в 30-ых гг. XX-го столетия
в работе [283] была введена норма с помощью функционала
Минковского упомянутой выше окрестности. Такие нормы многие
авторы называют нормами Люксембурга. Именно на этом пути автором
этих строк в 1976 ã. было показано (ñì. [19]), что пространство
Lp(x)
µ (E), состоящее из измеримых на E функций f(x), для которых
степень |f(x)|p(x) интегрируема на E, при p(x) 1 представляет собой
нормированное пространство с нормой для f ∈ Lp(x)
µ (E), равной
{
= inf
∥f∥p(·) = ∥f∥p(·)(E) =
p(x)
α > 0 :
∫
E
f(x)
α
}
µ(dx) 1
.
(1)
Следует отметить, что в [19] основное внимание уделялось случаю,
когда E = [0, 1], а мера µ совпадает с мерой Лебега на [0, 1], и одновременно
отмечалось, что основные результаты остаются в силе
для произвольного множества E, на котором задана мера Лебега µ,
не исключая важный частный случай, когда E ⊂ Rn с обычной мерой
Лебега. Много внимания в [19] было уделено двойственным для
Lp(x)
µ (E) пространствам Lp′(x)
µ (E), где 1/p(x) + 1/p′(x) = 1, в том
числе и в случае, когда переменный показатель p′(x) не является
существенно ограниченной функцией на E. Такая ситуация немед
Стр.3