1 Введение
Большинство задач, с которыми сталкиваются специалисты в
области прикладной математики, обнаруживают существенные
особенности, которые не позволяют получать точные аналитические
решения. Такими особенностями являются, например,
нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной
формы и т.д. Мало того, если даже точное решение задачи явно
найдено, оно может оказаться бесполезным для физической интерпретации
или численных расчётов. Для получения информации
о решении уравнений исследователь вынужден прибегнуть
к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию
этих двух методов. В этом пособии рассмотрены метод усреднения,
метод погранфункций решения сингулярно возмущённых
обыкновенных дифференциальных уравнений и метод интегральных
многообразий, позволяющий в некоторых случаях
понизить размерность системы до двух. Теоремы приведены без
доказательств, сделан акцент на описании методов и рассмотрении
простых примеров.
2 Высшие приближения метода двух масштабов на
полуоси для нелинейных систем с периодическими
коэффициентами
На полуоси [0,∞) построим асимптотику решения нелинейной
задачи Коши с малым параметром 휀 > 0
푑푥
푑휏 = 휀퐹(휏,푥(휏)), 푥(0) = 푥0,
퐹(휏, 푥) = 퐴(푥) +
отображения 퐴(푥),퐵푖(푥),퐶푖(푥) (푖 = 1, ..., 푟) 푛 + 1 раз непрерывно
дифференцируемы по Фреше, нормы производных
∑
푖=1
푟
3
(1)
퐵푖(푥) sin(푖휏) + 퐶푖(푥) cos(푖휏), 푥 ∈ 퐺 ⊂ ℝ푚,
Стр.3
푑푤푖+1/푑휏. Третье слагаемое также будет иметь по 휏 нулевое
среднее на отрезке [0, 2휋], но будет зависеть от 푡 и 휏, экспоненциально
стремиться к нулю при 푡 −→ ∞ равномерно по 휏
на отрезке [0, 2휋] и будет приравниваться к ∂푣푖+1/∂휏, откуда
푣푖+1(푡, 휏) будет находиться интегрированием по 휏 при фиксированном
푡.
Подставляя 푥푛(푡, 휏, 휀) вместо 푥 в (1) и используя разложение
Тейлора функции 퐹(휏, 푥) в малой окрестности нулевого приближения
푥 = 푢0(푡), имеем
휀
(푑푢0
푑푡 + ∂푣1
∂휏 + 푑푤1)
푑휏
+ 휀푛+1(푑푢푛
푑푡 + ∂푣푛
+
∑
푖=1
푟
+
∑
푖=1
푟
+ 휀2(푑푢1
푑푡 + ∂푣1
∂푡 + ∂푣푛+1
[퐵푖(푢0) + ... + 휀푛
푛!퐵(푛)
푑휏
∂푡 + ∂푣2
∂휏 + 푑푤푛+1)
∂휏 + 푑푤2)
푑휏
+ ... +
+ ... = 휀퐴(푢0) +
+ 휀2퐴′(푢0)퐻푛 +...+ 휀푛+1
푛! 퐴(푛)(푢0)×퐻푛 ×...×퐻푛 +... + (4)
푖 (푢0)×퐻푛 ×...×퐻푛 + ...)] sin(푖휏)+
[퐶푖(푢0) + ... + 휀푛
푛!퐶(푛)
푖 (푢0)×퐻푛 ×...×퐻푛 + ...] cos(푖휏)),
где 퐻푛(푡, 휏, 휀) = 휀[푢1 + 푣1 + 푤1] + ... + 휀푛[푢푛 + 푣푛 + 푤푛] = 푂(휀).
Выделим в (4) слагаемые первой степени по 휀:
푑푢0
푑푡 + ∂푣1
∂휏 + 푑푤1
∂푣1
∂휏 + 푑푤1
푑휏 =
푑휏 = 퐴(푢0) +
∑
푖=1
∑
푖=1
푟
[퐵푖(푢0) sin(푖휏) + 퐶푖(푢0) cos(푖휏)].
Так как 푢0(푡) есть решение усредненной системы (2), то
푟
[퐵푖(푥★) sin(푖휏) + 퐶푖(푥★) cos(푖휏)]+
6
(5)
Стр.6
+
∑
푖=1
푟 {[퐵푖(푢0)−퐵푖(푥★)] sin(푖휏) + [퐶푖(푢0)−퐶푖(푥★)] cos(푖휏)
}
.
Естественно выбрать в качестве 푤1(휏) 2휋-периодическое решение
уравнения
푑푤1
푑휏 =
∑
푖=1
푟
[퐵푖(푥★) sin(푖휏) + 퐶푖(푥★) cos(푖휏)],
имеющее нулевое среднее по 휏 на отрезке [0, 2휋].
Таким образом, из уравнения (5) однозначно определяются
функции 푣1(푡, 휏) и 푤1(휏)
푟
푣1(푡, 휏) =
∑
푖=1
{[퐶푖(푢0)−퐶푖(푥★)]sin(푖휏)
푟
푤1(휏) =
∑
푖=1
푖
[퐶푖(푥★)sin(푖휏)
푖 −퐵푖(푥★)cos(푖휏)
푖
].
Пусть предложенным выше способом мы определили все функции
푢푖(푡), 푣푖+1(푡, 휏), 푤푖+1(휏), (푖 = 0, ...,푛−1). Причём, 푢푖(푡) −→
푢푖(∞), 푣푖+1(푡, 휏) −→ 0 при 푡 −→ ∞ и 푣푖+1(푡, 휏),푤푖+1(휏) имеют
нулевые средние по 휏 на [0, 2휋].
Очевидно, на 푛-м шаге (т.е. приравнивая в (4) слагаемые при
휀푛+1) получим уравнение
푑푢푛
푑푡 + ∂푣푛+1
∂휏 + 푑푤푛+1
푑휏 = 퐾푛(푢0(푡), ...,푢푛(푡), 휏),
где 2휋-периодическая по 휏 функция 퐾푛(푢0, ...,푢푛, 휏) удовлетворяет
условию Липшица по 푢0, ...,푢푛.
Из последнего равенства сначала находим 푢푛(푡) как решение
линейной начальной задачи, а затем 푤푛+1(휏), 푣푛+1(푡, 휏) интегрированием
по 휏.
7
푖 −[퐵푖(푢0)−퐵푖(푥★)] cos(푖휏)};
Стр.7
Теорема. Найдутся такие 휀0 > 0, 퐿 > 0, что при всех 0 <
휀 < 휀0 погрешность метода ∣∣푥(푡, 휀)−푥푛(푡, 휏, 휀)∣∣ удовлетворяет
оценке
∣∣푥(푡, 휀)−푥푛(푡, 휏, 휀)∣∣ < 퐿휀푛
равномерно по (푡, 휏) ∈ [0,∞)×[0, 2휋].
2.1 Пример построения асимптотики методом усреднения
Рассмотрим на полуоси [0,∞) нелинейную начальную задачу
푑푥
푑푡 = 푥−푥3 + 푥2 sin 휏, 푥0 = 0.5, 휏 = 푡
휀.
Усреднённое по 휏 уравнение, очевидно, имеет вид
푑푥
푑푡 = 푥−푥3.
Оно имеет три положения равновесия 푥 = −1,푥 = 0,푥 = 1.
Точки 푥 = ±1 устойчивы, а 푥 = 0 неустойчива. Очевидно,
полуось [0,∞) область притяжения корня 푥 = 1.
Приближённое решение 푥푛(푡, 휏, 휀) этой задачи будем искать
в виде функции двух независимых переменных 푡, 휏 на [0,∞)×
[0,∞)
푥푛(푡, 휏, 휀) = 푢0 + 휀[푢1 + 푣1] + ... + 휀푛[푢푛 + 푣푛].
Здесь 푣푖(푡, 휏) – неизвестные, 2휋-периодические по 휏 функции с
нулевым средним по 휏 на [0, 2휋]. Кроме того, 푣푖(푡, 휏) −→0 при
푡 −→∞ равномерно по 휏 ∈ [0,∞).
Подставляя 푥푛(푡, 휏, 휀) вместо 푥, имеем
푑푢0
푑푡 + ∂푣1
∂휏 +휀
(푑푢1
푑푡 + ∂푣1
∂푡 + ∂푣2)
∂휏
+휀2(푑푢2
푑푡 + ∂푣2
∂푡 + ∂푣3)
∂휏
+... =
= 푢0+휀(푢1+푣1)+...−(푢0+휀(푢1+푣1)+...)3+sin 휏(푢0+휀(푢1+푣1)+...)2.
8
Стр.8