А.А. Дегтярев
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ
И ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Электронное учебное пособие
САМАРА
2011
Автор: ДЕГТЯРЕВ Александр Александрович
Учебное
пособие
содержит
примеры
теоретического
и
экспериментального исследования разностных схем для краевых задач
математической физики. <...> Для решения задачи диффузии на временном промежутке
0 t T
использовать метод конечных разностей. <...> Здесь
рассмотрены две разностные схемы: простейшая явная, простейшая неявная, для
5
построения которых использован метод замены производных разностными
отношениями. <...> (6)
где I - число интервалов разбиения промежутка 0 x l ;
K - число интервалов разбиения отрезка времени
0 t T . <...> Для построения схемы для задачи (5) заменим все функции непрерывных
аргументов x и t их сеточными аналогами, а производные - нижеприведенными
разностными отношениями
2u ( xi , tk ) u ( xi 1 , tk ) 2u ( xi , tk ) u ( xi 1, tk )
, <...> В соответствии с определением аппроксимации, проверим, выполняется ли
условие lim f h
h0
Fh
lim Lh u h f h
h0
Fh
0 при произвольном выборе
последовательности равномерных сгущающихся сеток. <...> Невязка f h для рассматриваемой схемы будет иметь следующую
структуру: <...> C x xi
x
Воспользуемся дифференциальным уравнением краевой задачи (5):
7
Cut uxx Du . <...> (9)
С учетом (9) выражение рассматриваемой компоненты невязки примет вид:
f
1 t tk
h x x
i <...> 2
xx x
Видим, что в полученном выражении невязки имеются слагаемые первого
порядка по шагу ht и второго порядка по шагу hx . <...> (10)
Определим норму в пространстве Fh формулой
8
fh
Fh <...> (11)
Тогда погрешность аппроксимации явной схемы в соответствии с формулой <...> Итак, в результате исследования получено, что простейшая явная
разностная схема (7) аппроксимирует краевую задачу (5) на ее решении u ,
причем погрешность аппроксимации имеет второй порядок относительно по hx и
первый относительно ht . <...> Теперь проведем исследование устойчивости явной разностной <...>
Примеры_построения_и_исследования_разностных_схем_[Электронный_ресурс]_.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА
(национальный исследовательский университет)»
А.А. Дегтярев
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ
И ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Электронное учебное пособие
САМАРА
2011
Стр.1
Автор:
ДЕГТЯРЕВ Александр Александрович
Учебное пособие содержит примеры теоретического и
экспериментального исследования разностных схем для краевых задач
математической физики.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по
направлению 010400.62 – «Прикладная математика и информатика».
Рекомендуется для подготовки к практическим занятиям, лабораторным
работам, а также для выполнения индивидуальных заданий по курсу
«Численные методы математической физики».
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Краевая задача для уравнения диффузии на отрезке………………….. 4
1.1 Построение и исследование простейшей явной разностной
схемы………………………………………………………………… 6
1.2 Построение и исследование простейшей неявной разностной
схемы……………………………………………………………… 16
2 Краевая задача для уравнения теплопроводности в круге………….. 26
2.1 Построение и исследование простейшей явной схемы…………. 30
2.2 Построение и исследование разностной схемы
Кранка-Николсона…………………………………………………….. 44
Список литературы………………………………………………………. 54
3
Стр.3