МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
РАДИОФИЗИКА
Лабораторный практикум
Составители:
А.П. Трифонов,
В.К. Маршаков,
Ю.Э. Корчагин,
К.А. Зимовец
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Лабораторная работа №1
Исследование законов распределений случайных
сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Лабораторная работа №2
Исследование статистических характеристик выбросов
случайных процессов . . . . . . . . . . . . . 20
3. Лабораторная работа №3
Воздействие сигнала и шума на линейные системы 33
4. Лабораторная работа №4
Взаимная корреляция шумов на выходах фильтров
с перекрывающимися частотными характеристиками
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Лабораторная работа №5
Экспериментальное исследование корреляционного
приёмника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3
Стр.3
годического процесса ξ(t). Эти оценки обычно называют эмпирической
функцией распределения и гистограммой процесса ξ(t)
соответственно.
Как следует из формулы (1.4), для формирования оценки F∗
необходимо иметь оценки всех вероятностей P∗
∆(xj), j = 1, 2, 3, ...,
на основе которых строится и гистограмма (1.5). Поэтому считается,
что оценка F∗
мы случайного процесса ξ(t). В то же время, в некоторых случаях
удобнее сначала произвести оценку функции распределения,
и уже по ней строить гистограмму. Для получения алгоритмов
таких оценок F∗
1 (x) (1.4) формируется на основе гистограм1
(x) и W∗
1 (x) заметим, что
F1(x) = P(x), W1(x) = F1(x+∆x)−F1(x)
∆x
= P(x+∆x)−P(x)
∆x
,
(1.6)
где P(x) = P{ξ(t) ≤ x} — вероятность того, что значение случайного
процесса ξ(t) в момент времени t не превосходит порог x. В
(1.6) так же как и в(1.1) предполагается, что величина ∆x мала.
Введём вспомогательную случайную функцию
γj(t) =
1, ξ(t) < xj,
0, ξ(t) ≥ xj,
j = 1, 2, 3, ...
Рис. 1.2 иллюстрирует формирование реализаций zj(t) случайных
функций γj(t) из реализации x(t) случайного процесса ξ(t).
Тогда P(xj) = γj(t) — статистическое среднее случайных функций
γj(t). Используя эргодическое свойство случайного процесса
ξ(t) имеем
P∗(xj) = 1
T0j
t0j+T0j
t0j
где zj(t)—реализации случайных процессов γj(t), временное усреднение
которых начинается в момент времени t0j и заканчивается
в t0j +T0j. Используя оценки (1.7), из (1.6) получаем
F∗
1 (x) ≈ P∗(xj) x ∈ [xj,xj+1), j = 1, 2, 3, ...
6
(1.8)
zj(t) dt,
(1.7)
1 (x)
Стр.6
õ(t)
xj
t
z (t)j
1
t
Рис. 1.2
W∗
1 (x) ≈
P∗(xj+1)−P∗(xj)
∆x
, x ∈ [xj,xj+1), j = 1, 2, 3, ... (1.9)
Выражения (1.8) и (1.9) определяют алгоритмы оценок одномерных
функций распределения и плотности вероятности эргодического
случайного процесса ξ(t), когда гистограмма W∗
ся по данным эмпирической функции распределения F∗
Согласно (1.4), (1.5) и (1.8), (1.9), для получения F∗
1 (x) иW∗
необходимо:
• знать диапазон возможных значений случайного процесса
ξ(t);
• задать ширину дифференциальных коридоров ∆x или их
число n;
• измерить по реализации случайного процесса ξ(t) величины
P∗
∆(xj) или P∗(xj), j = 1,n.
Если интервал возможных значений процесса ξ(t) неизвестен либо
бесконечен, как, например, для гауссовского случайного процесса,
то его оценкой может служить интервал [xmin,xmax], в пределах
которого сосредоточено основное множество (в вероятностном
7
1 (x)
1 (x) строит1
(x).
Стр.7
смысле) мгновенных значений процесса ξ(t). При этом xmin и xmax
выбираются так, чтобы, например, выполнялись условия
F∗
1 (xmin) = P∗(xmin) ≤ β, 1−F∗
1 (xmax) = 1−P∗(xmax) ≤ β,
(1.10)
где β — заранее выбранное число, такое что 0 < β 1, а P∗(x)
— оценка вероятности P{ξ(t) < x}, формируемая в соответствии
с (1.7).
Если исходить из выражений (1.1) и (1.6), то ширину дифференциальных
коридоров ∆x следует задавать как можно меньшей.
Действительно, точность формул (1.1) и (1.6) повышается с
ростом числа дифференциальных коридоров n, и тем больше, казалось
бы, должно быть соответствие между гистограммой и истинной
кривойW(x). Однако это не происходит в силу того, что с
уменьшением ∆x уменьшается относительное время пребывания
реализации случайного процесса внутри дифференциального коридора.
При фиксированном времени анализа T0j это приводит
к большему разбросу значений P∗
(1.7) от опыта к опыту. Анализ точности оценок F∗
∆(xj) (1.3) и P∗(xj+1) − P∗(xj)
1 (x) и W∗
1 (x)
показывает, что ширину дифференциальных коридоров следует
выбирать так, чтобы их число n на интервале [xmin,xmax] было
порядка 10÷20.
Построенный на основании соотношений (1.4), (1.5) или (1.8),
(1.9) эмпирический одномерный закон распределения случайного
процесса ξ(t) необходимо сопоставить с каким-либо теоретическим
законом распределения. Чтобы количественно оценить,
насколько хорошо выбранный теоретический закон распределения
согласуется с результатами наблюдений, используют критерии
согласия. Однако, на практике, довольно часто ограничиваются
лишь качественным сопоставлением выбранного теоретического
закона с полученным эмпирическим законом распределения.
С этой целью по результатам наблюдений оценивают параметры
теоретического закона распределения. Затем по теоретическим
формулам, где вместо параметров используют их оценки,
рассчитывают графики функций распределения и плотности вероятности.
Эти графики сопоставляют с эмпирической функци8
Стр.8