МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Учебное пособие для вузов
Составители:
М. А. Артемов,
Ю. М. Мяснянкин,
Т. Д. Семыкина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено в помощь студентам
специальностей «Прикладная математика» и «Механика» при изучении ими
спецкурса «Вариационные принципы и методы в механике деформируемых
твердых тел» и связанного с ним лабораторного практикума.
Хотя по данному вопросу существует обширная литература,
рекомендовать студентам для изучения приемлемый учебник или доступную
книгу не представляется возможным; особенно это относится к
практическому применению вариационных методов.
В данном пособии не рассматриваются теоретические вопросы
(существования, полноты, сходимости и т.д.); основное внимание обращено
к сущности вариационных методов, решению конкретных задач.
В первой части пособия уделяется особое внимание физическому
смыслу основных понятий МДТТ, построение моделей в изотермической,
квазистатической постановке. Сформулированы основные вариационные
принципы теории линейной упругости и основанные на них вариационные
методы, позволяющие эффективно строить приближенные аналитические
решения.
Рассмотрено решение задач строительной механики, даны примеры
для самостоятельного решения и соответствующие методические указания.
Теоретическое обоснование вариационных методов можно найти в
работах [1, 2, 3] и др.
1. Основные понятия и уравнения МДТТ
Опыт показывает, что твердое тело под влиянием внешних
воздействий изменяет свою форму (деформируется). К внешним
воздействиям относятся поверхностные нагрузки, массовые силы,
нагревание или охлаждение тела. Если деформация тела не превышает
некоторых пределов, то при достаточно медленном снятии внешних
воздействий оно возвращается к своему первоначальному состоянию. Если
снять внешние воздействия мгновенно, то тело совершает свободные
колебания. Однако вследствие внешнего и внутреннего сопротивления тело
по истечении некоторого времени возвращается в состояние равновесия,
принимая свою первоначальную форму. Такое свойство твердого тела
называется упругостью.
При значительных деформациях снятие внешних воздействий не
приводит к полному исчезновению деформации. Сохраняется некоторая
остаточная деформация тела. Эти остаточные деформации называются
пластическими.
3
Стр.3
уравнениям неразрывности деформаций [4]
vi j +
,
j iv −
,
i jv − vj i = 0. (1.1.3)
,
,
Среди уравнений (1.1.3) независимых только шесть, и (1.1.2) являются их
общим интегралом; в свою очередь (1.1.2) обращает уравнения (1.1.3) в
тождества. Поэтому при построении моделей МДТТ привлекают только
одну из групп уравнений – или (1.1.2), или (1.1.3).
Заметим, что величина
= + 22 + 33
11
(1.1.4)
совпадает при малых деформациях с относительным изменением объема
частиц [4].
Тензор деформаций вводится в связи с двумя состояниями среды ―
начальным и конечным. Наряду с ним аналогично введем тензор скоростей
деформаций, который описывает мгновенную деформацию тела.
Компоненты симметричного тензора скоростей деформаций определяются
по формулам
ij =
где =ij d ij
координат.
2 ,
1
(
vi j
,
,
V V ,j i )
i j + , (1.1.5)
dt , t – время, iV – проекции вектора скорости точки на оси
Уравнения совместности скоростей деформаций имеют вид:
+
j iv −
i jv − j i
,
,
= 11 + 22 + 33 =V V +V
1,1 + 2,2
= 0.
Скорость относительного изменения объема равна
3,3 .
(1.1.6)
(1.1.7)
Механическое воздействие окружающей среды на материальное тело
выражается через объемные и поверхностные силы. Пусть Rd
объем dV. По определению [4]
Φ
dR dV=
есть интенсивность объемных сил; Φ
можно представить в виде
6
(1.1.8)
―
элементарная сила (главный вектор системы сил), действующая на
материальные частицы, заполняющие элементарную область, имеющую
ε
εμ
εμ
ε
μ
ε
θ
ε
ε
μ
ε
εμ
εμ
μ
ε
ε
θ
ε
ε
ε
ε
εν
μ
Стр.6
где
F dR d
=
– интенсивность массовых сил,
Φ = , (1.1.9)
– плотность.
F
Примерами массовых (объемных) сил являются: сила тяжести,
магнитные и гравитационные силы, силы инерции и т.д.
Рассмотрим элементарную поверхность с площадью dS . Можно
предположить, что dS – участок граничной поверхности тела или какойлибо
другой воображаемой поверхности, разделяющей тело на две части.
Обозначим через n
нормали к поверхности dS . Пусть на рассматриваемую площадку
действует элементарная сила Pd
. По определению
. Вектор n
Эта зависимость имеет вид [4]
где
вектор единичной, внешней по отношению к объему
=n dP dS
есть вектор
напряжения, действующий на элементарную площадку dS с единичной
нормалью n
n = ⋅ 2n
название тензора напряжений.
jin = 1 1in +
j
2 2
in +
3 3
in .
это проекция вектора напряжений, взятого на площадке с нормалью in
, на
имеют простой геометрический смысл. Выделим в любой точке тела три
элементарные площадки, перпендикулярные к осям координат, тогда ij
будут являться внешними поверхностными усилиями.
В декартовой системе координат компоненты тензора напряжений
–
ocи jx . Если рассматривать соотношение (1.1.10) в точках граничной
поверхности, то n
В связи с этим уравнения (1.1.10) называют условиями на поверхности или
граничными условиями в напряжениях.
Из уравнений количества движения и момента количества движения
сплошной среды в классическом случае следует, что тензор напряжений
симметричен
ij = , (1.1.11)
ji
и выполняются уравнения движения в какой-либо точке объема тела [4]
.
d u dt =
2
i
2
7
ji j + Fi
,
,
nj n= , (1.1.10)
i
ij
2 – тензор второго ранга с компонентами ij . Этот тензор носит
зависит от ориентации площадки dS , то есть от n
.
(1.1.12)
ρ
ρ
σ
ρ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ρ
σ
ρ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Стр.7
Уравнения (1.1.1)―(1.1.7) в механике сплошной среды называют
кинематическими, а уравнения (1.1.8)―(1.1.12) – динамическими.
Кинематические и динамические уравнения справедливы для сплошных тел
и носят название универсальных уравнений.
Для широкого класса практически важных инженерных задач МДТТ
(деформация стержней, пластинок, оболочек) вместо напряжений вводятся
обобщенные усилия. Пусть h2 – толщина пластинки. Направим ось 3x
перпендикулярно срединной поверхности пластинки. Тогда обобщенные
усилия вводятся по формулам
Ndz
11
h
Q1 = ∫
13dz,
−h
h
M = ∫
1
−h
,
2
1 ,, N12
−− −
N2
22dz
h
Q2 = ∫
23dz ,
−h
h
11zdz M = ∫
22zdz,
−h
h
H = ∫
12zdz . (1.1.13)
−h
== =∫∫ ∫
hh h
hh h
12dz ,
Обобщенные усилия представляют собой усилия или моменты, отнесенные
к единице длины элемента срединной поверхности в поперечном сечении
оболочки. Уравнения равновесия (1.1.12) в каждом конкретном случае
можно записать через обобщенные усилия.
1.2. Определяющие реологические уравнения
Универсальные уравнения выполняются при движении любых
твердых тел. Однако различные реальные тела при одних и тех же внешних
условиях ведут себя по-разному. Математически этот факт проявляется в
том, что число универсальных уравнений меньше числа входящих в них
неизвестных, система незамкнута. Дополнительные уравнения, которые
замыкают систему, выделяют конкретную модель твердого тела, называют
определяющими, или реологическими. Эти уравнения получают из
экспериментальных наблюдений, физических и термомеханических
соображений. Приведем некоторые из них для изотропных тел.
Линейно-упругие тела
ij =
ij + 2
8
ij ,
(1.2.1)
σ
σ
σσ
σ
σ
σ
σ
με
λ
σ
εαα
δ
Стр.8