Аналитическая геометрия (150,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.89

Стр.90

Стр.1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. Н. Остыловский АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки высшего профессионального образования 010100 Математика, 30.06.2010 Красноярск СФУ 2011

Стр.2

УДК 514.12(07) ББК 22.151.54я73 О-79 Рецензенты: О. В. Капцов, д-р физ.-мат. наук, проф. ведущий науч. сотр. Института вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск); Н. В. Волков, д-р физ.-мат. наук, проф. зам. директора по науке Института физики им. Л. В. Киренского СО РАН (г. Красноярск) Остыловский, А. Н. О-79 Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А. Н. Остыловский. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 92 с. ISBN 978-5-7638-2196-3 Изложены основные теоретические положения раздела «Аналитическая геометрия» курса «Математика». Особое внимание уделено инвариантной теории, векторным тождествам и уравнениям. Рассмотрены также произвольный базис, матрица Грама, структурный тензор векторного произведения. Предназначено для студентов направления подготовки 010100 Математика, а также для студентов инженерно-физических направлений и специальностей. УДК 514.12(07) ББК 22.151.54я73 ISBN 978-5-7638-2196-3 © Сибирский федеральный университет, 2011

Стр.3

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 010100—  Математика Прикладная математика и информатика ,  же может быть полезно студентам, обучающимся по направлениям и специальностям  Механика са  Цель пособия — помочь студентам освоить трудные разделы курАналитическая геометрия , а так. . При изложении автор опирался на личный опыт многолетнего преподавания аналитической геометрии на физическом факультете Красноярского государственного университета. Для физиков важно уметь оперировать векторами не только в координатной, но и в инвариантной (бескоординатной) форме, что отражает идею изотропности пространства. В данном пособии курс  метрия Аналитическая геоизлагается как в инвариантной, так и в координатной формах. Следует отметить, что в имеющейся учебной литературе по данному курсу, как правило, вопросы инвариантной теории освещены недостаточно для понимания основ теоретической физики. В предлагаемом пособии все утверждения векторной алгебры сначала выводятся в инвариантной форме, а затем переводятся на координатный язык. Уравнения плоскостей и прямых в пространстве также выводятся вначале в компактной инвариантной форме. Такой подход, на наш взгляд, позволяет лучше понять суть предмета, тем более, что в координатной форме многие результаты очень громоздки. Инвариантные выражения (даже в неортонормированном базисе) всегда можно перевести на координатный язык. Обратный переход не всегда возможен, а если и возможен, то может оказаться весьма затруднительным. Пособие состоит из четырёх глав. В главе 1 в полном объёме изложен аппарат векторной алгебры в инвариантной форме. В главе 2 утверждения, доказанные в главе 1, представлены в координатной форме. Кроме того, в данной главе вводится тензорный язык немого суммирования, используемый для изложения векторной теории в произвольном (необязательно ортонормированном) базисе. В главах 3, 4 выводятся векторные (инвариантные) уравнения прямых и плоскостей, а также рассматриваются решения задач о взаимном расположении прямых и плоскостей. В пособии приведено большое количество примеров и упражнений, что поможет студентам успешно освоить названный курс и на теоретическом, и на прикладном уровне. 3

Стр.4

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................................................................. 3 1. Векторы. Инвариантная теория .......................................................... 4 1.1. Скалярные и векторные величины .................................................. 4 1.2. Формализация: свободные геометрические векторы .................... 5 1.3. Линейные операции. Орт вектора ................................................... 6 1.4. Коллинеарность, компланарность, линейная зависимость векторов .................................................................................................. 9 1.5. Матрицы и определители. Простейшие свойства ......................... 16 1.6. Скалярное произведение .................................................................. 21 1.7. Векторное произведение .................................................................. 27 1.7.1. Момент силы ........................................................................... 27 1.7.2. Ориентация тройки векторов ................................................ 28 1.7.3. Векторное произведение ....................................................... 28 1.7.4. Геометрические свойства векторного произведения ......... 28 1.7.5. Алгебраические свойства векторного произведения ......... 29 1.8. Смешанное произведение ................................................................ 32 1.9. Двойное векторное произведение ................................................... 32 1.10. Решение векторных уравнений ..................................................... 36 Упражнения .............................................................................................. 41 2. Векторы в координатах .......................................................................... 45 2.1. Базис и координаты ......................................................................... 45 2.2. Координатные столбцы векторов ................................................... 46 2.3. Ортонормированный базис ............................................................. 47 2.4. Произвольный базис ........................................................................ 51 2.4.1. Тензорные обозначения ........................................................ 51 2.4.2. Матрица Грама и скалярное произведение ......................... 51 2.4.3. Векторное произведение ....................................................... 52 2.4.4. Смешанное произведение ..................................................... 54 2.5. Замена базиса ..................................................................................... 54 2.6. Замена ортонормированного базиса на ортонормированный ...... 56 2.7. Взаимный базис ................................................................................. 57 2.7.1. Определение и построение взаимного базиса...................... 57 2.7.2. Ковариантные и контравариантные координаты вектора ..... 58 2.7.3. Связь между ковариантными и контравариантными координатами вектора ................................................................. 60 2.7.4. Физические компоненты вектора .......................................... 61 88

Стр.89

2.7.5. Замена базиса ....................................................................... 62 2.7.6. О размерностях векторных величин ................................. 63 Упражнения .......................................................................................... 63 3. Плоскость в пространстве .................................................................... 66 3.1. Общая и прямоугольная декартовы системы координат .............. 66 3.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .................................................... 67 3.3. Линейное уравнение ......................................................................... 69 3.4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам ................................ 70 3.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой ....................................................................... 71 3.6. Расположение плоскости относительно прямоугольной системы координат .................................................................................... 71 3.7. Расстояние от точки до плоскости .................................................. 72 4. Прямая в пространстве .......................................................................... 74 4.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному вектору .................................................................. 74 4.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ............. 75 4.3. Прямая как пересечение двух плоскостей ...................................... 75 4.4. Расстояние от точки до прямой ........................................................ 76 4.5. Расстояние между непараллельными прямыми ............................. 76 4.6. Некоторые задачи на построение ..................................................... 77 Упражнения ............................................................................................... 81 Ответы к упражнениям ............................................................................. 85 Библиографический список ...................................................................... 87 89

Стр.90