Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
В. А. Шершнева
О. А. Карнаухова
СБОРНИК ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным и приборостроительным
направлениям подготовки, 30.12.2010
2-е издание, исправленное и дополненное
Красноярск
СФУ
2011
Стр.1
УДК 519(07)
ББК 22.12я73
Ш507
Рецензенты:
В. А. Охорзин, д-р техн. наук, проф. кафедры «Прикладная математика»
СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетнева;
А. К. Шлепкин, д-р физ.-мат. наук, проф. зав. кафедрой «Высшая
математика» КрасГАУ
Шершнева, В. А.
Ш507 Сборник прикладных задач по математике: учеб. пособие /
В. А. Шершнева, О. А. Карнаухова. — 2-е изд. испр. и доп. —
Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. — 219 с.
ISBN 978-5-7638-2410-0
Приведены краткие теоретические сведения и задачи прикладного характера,
охватывающие основные разделы математики. Даны подробные решения наиболее
трудных задач с описанием их применения в инженерной практике.
Предназначен для студентов, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным
направлениям подготовки. Представляет интерес для студентов
инженерных направлений подготовки.
УДК 519(07)
ББК 22.12я73
Сибирский
федеральный
c
университет, 2011
ISBN 978-5-7638-2410-0
Стр.2
Предисловие ко второму изданию
Первое издание Сборника прикладных задач по математике вышло
в 2008 году. С тех пор в российской системе высшего профессионального
образования произошли значительные изменения, направленные на её
модернизацию. Прежде всего, это относится к переходу на федеральные
государственные образовательные стандарты (ФГОС), которые предъявляют
новые требования к математической компетентности выпускника
инженерного вуза.
Настоящее издание является переработанным и дополненным:
уточнено содержание задач, добавлены исторические сведения, доработан
теоретический материал, в гл. 14 даны решения прикладных задач
в обучающей электронной среде.
Основное содержание сборника изложено в 12 главах: «Матрицы
и системы линейных уравнений», «Векторы», «Аналитическая геометрия»,
«Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функций
одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной»,
«Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения»,
«Кратные и криволинейные интегралы», «Ряды», «Теория вероятностей»
и «Математическая статистика».
С учетом возрастающей роли информационно-коммуникационных
технологий в процессе математического моделирования в сборник включены
гл. 13 «Решение математических задач с помощью пакетов прикладных
программ» и гл. 14 «Реализация решения прикладных математических
задач в web-ориентированной обучающей среде Moodle».
Прикладные задачи, представленные в настоящем сборнике, предназначены
для рассмотрения на лекциях, практических занятиях
и самостоятельной работы студентов (для этого разработана webориентированная
обучающая среда). Среди задач, включённых в сборник,
имеются междисциплинарные и профессионально направленные задачи
(связанные с направлением инженерной подготовки студента). Поскольку
прикладные задачи могут вызывать дополнительные трудности,
каждая глава содержит краткий теоретический материал, основные
формулы, связанные с приложениями, а также примеры решения задач.
3
Стр.3
Многие задачи снабжены указаниями к решению, а наиболее трудные —
полными решениями. В конце сборника приведены ответы к задачам.
Часть задач составлена самими авторами, а часть взята из сборников,
приведённых в библиографическом списке.
Необходимо отметить, что методологической основой данного сборника
задач является теория контекстного обучения, созданная членомкорреспондентом
Российской академии образования А. А. Вербицким и
его научной школой. Учтён также опыт работы коллектива кафедры
прикладной математики и компьютерной безопасности Сибирского федерального
университета (СФУ) в процессе обучения математике студентов
инженерных направлений подготовки.
Авторы выражают глубокую благодарность заместителю директора
по научной работе Института космических и информационных технологий
СФУ д-ру физ.-мат. наук, профессору М. В. Носкову за оказанную
помощь в издании сборника, д-ру физ.-мат. наук, профессору Н. Н. Осипову
и канд. физ.-мат. наук, доценту Т. О. Кочетковой за организацию
подготовки сборника к изданию, старшему преподавателю Т. В. Зыковой,
а также сотрудникам отдела обучающих систем СФУ за содействие
при разработке и внедрении электронного курса «Прикладные задачи по
математике».
Авторы будут благодарны за отзывы и замечания, а также новые
прикладные задачи, которые просят направлять по электронному адресу:
vshershneva@yandex.ru.
4
Стр.4
Введение
Математика является одной из древнейших наук. Она зародилась
под влиянием потребностей практической деятельности человечества
как прикладная наука. Мореплавание, землемерие, строительство, торговля,
государственное управление требовали развития арифметики и
геометрии. Историческое развитие математики превратило её в логически
стройную систему. Однако многочисленные задачи естествознания
и техники ставят перед математикой всё новые задачи. В процессе их
решения она продолжает развиваться, сохраняя свою прикладную суть.
Многие математические результаты внесли и продолжают вносить
важный вклад в науку и технику. Среди них общеизвестны: теория реактивного
движения ракет, формула для расчёта подъёмной силы крыла,
объяснение явления флаттера — разрушительной вибрации самолёта,
методы расчёта ядерных реакторов, теория кумулятивного взрыва.
Значение математики для инженерной деятельности огромно, и потому
будущему инженеру необходимо получить математическую подготовку
высокого качества.
Цель обучения математике в инженерном вузе состоит в том, чтобы
будущие инженеры получили фундаментальную математическую подготовку
и математическую культуру, а также навыки математического моделирования
в области будущей профессиональной деятельности, в том
числе с применением информационных компьютерных технологий. Все
составляющие этой цели принципиально важны.
Однако их нелегко достичь, если содержание обучения математике
абстрактно и изолировано от специфики инженерной работы. В этой
ситуации, например, трудно сформировать навыки математического моделирования
инженерных объектов и процессов. Дисциплина «Математика»
часто предстаёт исключительно как совокупность абстрактных понятий
и теорем, и её прикладной характер в учебном процессе разглядеть
почти невозможно.
«Вернуть» на занятия прикладную сущность математики, показать
связь изучаемых понятий и теорем с инженерной практикой, други5
Стр.5
ми учебными дисциплинами могут прикладные математические задачи.
Если содержание такой задачи связано с работой будущего инженера,
то для него эта задача — профессионально направленная, его познавательная
активность возрастает, повышается качество фундаментальной
математической подготовки, формируются навыки математического моделирования.
Как
правило, этап построения математической модели наиболее
сложен. Каждая из прикладных задач создаёт проблемную ситуацию, в
которой необходимо понять, с чего начать применение математических
знаний. Именно в ситуации, которую можно выразить поговоркой «Пойди
туда, не знаю куда, найди то, не знаю что» по-настоящему активизируется
мышление. Накапливая по крупицам опыт применения математических
знаний за пределами предметного поля математики, будущий
инженер учится применять их в профессиональной деятельности, формируется
его математическая компетентность.
Авторы считают, что следует оптимально сочетать фундаментальность
и прикладную направленность обучения, использовать эти задачи
в единстве с традиционными математическими задачами, широко представленными
в сборниках задач для студентов инженерных вузов. Подбирая
задачи соответствующей профессиональной направленности и оптимально
«вкрапляя» их в содержание обучения, можно эффективно
учить будущего инженера применять знания по основным разделам математики
в профессиональной деятельности. В двух последних главах
показано, как можно решать математические задачи с помощью пакетов
прикладных программ MathCad, Maple, Excel, а также обучающей
электронной среды.
В заключение подчеркнём, что задачи, включённые в данный сборник,
предназначены для установления более тесных связей содержания
обучения математике с инженерной деятельностью.
6
Стр.6
Оглавление
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Глава 1. Матрицы и системы линейных уравнений . . . . . . . . .7
Глава 2. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Глава 3. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Глава 4. Введение в анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Глава 7. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Глава 8. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Глава 9. Кратные и криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . 96
Глава 10. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава 11. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Глава 12. Математическая статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Глава 13. Решение математических задач с помощью пакетов
прикладных программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Глава 14. Реализация решения прикладных математических
задач в web-ориентированной обучаюшей среде Moodle 170
Решения и ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
219
Стр.219