Приводятся примеры и упражнения для
самостоятельного решения. <...> Ряды Фурье в евклидовых и гильбертовых
пространствах . <...> Приводятся примеры и упражнения для
самостоятельного решения. <...> Теоремы Банаха об открытом отображении
и о замкнутом графике . <...> Математическая структура hX, Ri, где X — множество, а
R — набор различных отображений и отношений, часто обозначается одним символом X. <...> Теоремы Банаха об открытом отображении
и о замкнутом графике . <...> Математическая структура hX, Ri, где X — множество, а
R — набор различных отображений и отношений, часто обозначается одним символом X. <...> В учебном пособии без соответсвующих ссылок упоминаются следующие ученые:
Асколи Джулио (1843—1896) — итальянский математик;
Арцела Чезаре (1847—1912) — итальянский математик;
Банах Стефан (1892—1945) — польский математик (с 1924 г.
работал во Львове);
6
Бессель Фридрих Вильгельм (1784—1846) — немецкий математик и астроном;
Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889) — русский математик;
Бэр Рене (1874—1935) — французский математик;
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815—1897) — немецкий математик;
Вольтерра Вито (1860—1940) — итальянский математик;
Гейне Генрих Эдуард (1821—1881) — немецкий математик;
Гёльдер Отто Людвиг (1852—1937) — немецкий математик;
Гильберт Давид (1862—1943) — немецкий математик;
Гато Рене Эжен ( 1890—1914) — французский математик,
погиб на Первой мировой войне;
Грин Джордж (1793—1841) — английский математик и физик;
Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик (родился
в Петербурге);
Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик;
Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — советский
математик;
Кронекер Леопольд (1823—1891) — немецкий математик;
Лагранж Жозеф Луи (1736—1813) — французский математик и механик;
Лебег Анри Луи (1875—1941) — французский математик;
Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд (1832—1903) — немецкий
математик;
Лиувилль Жозеф (1809—1882) — французский математик
и механик;
Люстерник Лазарь Аронович (1899—1981) — советский математик;
Минковский Герман (1864—1909) — немецкий <...>
Функциональный_анализ.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
А. Р. Данилин
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата по направлениям подготовки
010100 "Математика", 010200 "Математика и компьютерные науки",
010800 "Механика и математическое моделирование",
090301 "Компьтерная безопасность"
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2012
Стр.3
УДК 517.98(075.8)
Д182
Рецензенты:
кафедра математики и статистики
Башкирского государственного педагогического университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор Р. Р. Гадыльшин);
Т. Ф. Филиппова, доктор физико-математичсеких наук,
профессор, ведущий научный сотрудник
отдела оптимального управления
Института математики и механики УрО РАН
Данилин, А. Р.
Д182 Функциональный анализ : [учеб. пособие] / А. Р. Данилин. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2012. – 200 с.
ISBN 978-5-7996-0720-3
В учебном пособии излагается курс функционального анализа и
интегральных уравнений. Приводятся примеры и упражнения для
самостоятельного решения.
Для студентов бакалавриата математических специальностей
классических университетов.
УДК 517.98(075.8)
ISBN 978-5-7996-0720-3
-Уральскийфедеральный университет, 2012
c
Стр.4
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Метрические пространства
9
1.1. Метрика, норма, скалярное произведение . . . . . . . 9
1.2. Топология метрических пространств . . . . . . . . . 17
1.3. Предел и непрерывность в метрических
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Сепарабельные метрические пространства . . . . . . 27
1.5. Полные метрические пространства . . . . . . . . . . 29
1.6. Компактность в метрических пространствах . . . . . 34
1.7. Равномерно непрерывные отображения
метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8. Предкомпактные множества . . . . . . . . . . . . . . 44
Глава 2. Линейные нормированные пространства
47
2.1. Линейные операции над множествами
и выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Общие свойства нормированных пространств . . . . 50
2.3. Ряды в нормированных пространствах . . . . . . . . 53
2.4. Базисы и полные системы в нормированных
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . . . 57
2.6. Ряды Фурье в евклидовых и гильбертовых
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7. Несепарабельные гильбертовы пространства . . . . . 64
Глава 3. Линейные операторы и линейные
функционалы
66
3.1. Ограниченные линейные операторы
и их нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2. Принцип равномерной ограниченности . . . . . . . . 71
3.3. Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5. Теорема Хана — Банаха и ее следствия . . . . . . . . 79
3
Стр.5
3.6. Псевдовнутренние точки и фукционал Минковского . 83
3.7. Отделимость выпуклых множеств . . . . . . . . . . . 87
3.8. Двойственность и рефлексивность . . . . . . . . . . 91
3.9. Слабая сходимость в нормированных пространствах . 97
3.10. Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.11. Теоремы Банаха об открытом отображении
и о замкнутом графике . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.12. Спектр и резольвента . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.13. Компактные (вполне непрерывные) операторы . . . 117
3.14. Теория Рисса — Фишера, теоремы Фредгольма . . . 126
3.15. Линейные операторы в гильбертовых пространствах 129
3.16. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.17. Некоторые методы решения интегральных уравнений 141
Глава 4. Применение методов функционального
анализа в теории дифференциальных уравнений
в частных производных
143
4.1. Понятие регуляризующего алгоритма . . . . . . . . . 143
4.2. Применение теоремы Гильберта —Шмидта . . . . . 147
4.3. Применение теоремы Лакса — Мильграма . . . . . . 150
4.4. Соболевские пространства . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Пространство D(Ω)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.6. Пространство обобщенных функций произвольного
роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7. Операция свертки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8. Пространства S, S
, E, E
Глава 5. Дифференциальное исчисление
в нормированных пространствах
. . . . . . . . . . . . . . . 173
178
5.1. Дифференцируемость по Фреше и Гато . . . . . . . . 178
5.2. Производные и дифференциалы высших порядков . . 184
5.3. Частные производные и функции, заданные неявно . 188
5.4. Условный локальный экстремум . . . . . . . . . . . 193
Список библиографических ссылок
197
Стр.6
План выпуска 2012 г. Подписано в печать 02.07.12
Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Timеs.
Уч.-изд. л. 9,0. Усл. печ. л. 12,5. Тираж 200 экз. Заказ 1380.
Издательство Уральского университета
620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Тел.: + (343) 350-56-64, 350-90-13
Факс: +7 (343) 358-93-06
E-mail: press.urfu@mail.ru
Стр.202