П.Г. Демидова
Кафедра компьютерных сетей
Уравнения
математической физики
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности
Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем
Ярославль 2007
УДК 517.958:52/59
ББК В 161.68я73
У 68
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> Цель указаний – помочь
студентам специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» в изучении данного раздела
математики. <...> Предназначены для студентов, обучающихся по специальности
010503 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем (дисциплина «Уравнения математической физики», блок ЕН), очной формы обучения. <...> Решением уравнения в частных производных называется всякая функция, которая после подстановки вместо неизвестной функции обращает это уравнение в тождество по независимым переменным. <...> Уравнение называется линейным относительно
старших производных, если оно имеет вид <...> Классификация уравнений
с частными производными 2-го порядка
Рассмотрим линейное относительно старших производных
уравнение в некоторой области Ω переменных ( x, y ). <...> Выражение D = a12
− a11a 22 назовем дискриминантом уравнения и будем говорить, что уравнение в области Ω
принадлежит:
• гиперболическому типу, если D > 0;
• параболическому типу, если D = 0;
• эллиптическому типу, если D < 0. <...> Характеристическое уравнение распадается на два уравнения:
2
dy a12 + a12 − a11a22 <...> В результате получаем каноническую
форму
для
гиперболического
уравнения
ξ + <...> Уравнения (2) и (3) совпадают, получаем
один общий интеграл ϕ ( x, y ) = const. <...> В результате получаем каноническую форму для параболического уравнения uηη = F (ξ ,η , u , uξ , uη ). <...> В результате получаем каноническую
форму
для
эллиптического
уравнения
uαα + u ββ = F (α , β , u , uα , u β ). <...> Уравнение колебания струны
Рассмотрим натянутую струну, то есть тонкую гибкую <...>
Уравнения_математической_физики__Методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра компьютерных сетей
Уравнения
математической физики
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности
Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем
Ярославль 2007
Стр.1
УДК 517.958:52/59
ББК В 161.68я73
У 68
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2007 года
Рецензент
кафедра компьютерных сетей ЯрГУ им. П.Г. Демидова
Составитель М.В. Краснов
У 68
Уравнения математической физики: метод. указания / сост.
М.В. Краснов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – 44 с.
Методические указания содержат основные понятия, формулы на
основе которых рассматриваются конкретные примеры решения некоторых
задач математической физики. Цель указаний – помочь
студентам специальности «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем» в изучении данного раздела
математики. Могут быть использованы при выполнении домашних
заданий и при подготовке к зачету.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальности
010503 Математическое обеспечение и администрирование информационных
систем (дисциплина «Уравнения математической физики»,
блок ЕН), очной формы обучения.
УДК 517.958:52/59
ББК В 161.68я73
© Ярославский государственный университет,
2007
© М.В. Краснов, 2007
2
Стр.2
Содержание
1. Классификация уравнений с частными производными 2-го
порядка ..................................................................................... 3
2. Уравнение колебания струны ...................................................... 6
2.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) .......................... 8
2.2. Вынужденная сила ....................................................................... 11
2.3. Уравнение свободных колебаний струны с ненулевыми
граничными условиями ........................................................... 14
2.4. Краевые задачи со стационарными неоднородностями ........ 15
3. Уравнение теплопроводности .................................................... 17
3.1. Решение неоднородной задачи (метод Фурье) ......................... 18
3.2. Задача теплопроводности с ненулевыми граничными
условиями ................................................................................. 21
4. Уравнение Лапласа ...................................................................... 23
4.1. Несколько задач для уравнения Лапласа (метод Фурье) ........ 24
4.2. Решение уравнения Гельмгольца ................................................ 28
Приложение ....................................................................................... 31
Литература ......................................................................................... 41
42
Стр.42