Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра общей математики
Элементы теории функций
комплексного переменного
и операционного исчисления
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Телекоммуникации
Ярославль 2006
1
Стр.1
УДК 517.53/.55
ББК В 161.55
Э 45
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент
кафедра общей математики Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова
Составитель: В.Ф. Чаплыгин
Элементы теории функций комплексного переЭ
45
менного и операционного исчисления : метод. указания
/ Сост. В.Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль
: ЯрГУ, 2006. – 51 с.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
550400 Телекоммуникации (дисциплина
«Математический анализ», блок ЕН), очной формы обучения.
УДК
517.53/.55
ББК В 161.55
© Ярославский государственный университет, 2006
© В.Ф. Чаплыгин, 2006
2
Стр.2
Комплексные числа,
действия над ними
Комплексным числом называют число вида z=x+iy, где х и у
вещественные числа, а i – число, обладающее тем свойством, что
i2 = –1. Отметим сразу, что если сохранять правила действий со
степенями, то i3 = – i, i4 = 1, а дальше по циклу i5 = i, i6 = –1, i7 = – i,
i8 = 1 и т.д. Число х называется реальной частью z и обозначается
х = Re z, а у – мнимой его частью, y = Im z. Число x–iy называется
сопряженным к z и обозначается z , т.е. z = x–iy. Арифметические
действия выполняются по следующим правилам. Если z1=x1+iy1 и
z2=x2+iy2, то их сумма, разность и произведение равны
z1 ± z2 = (x1 ± х2) + i(y1 ± у2), z1⋅ z2 = (x1 + iy1) (x2+iy2) =
= (x1х2 – y1 у2) + i(x1 у2+ х2 y1).
Обратите внимание, что умножение выполняется по обычным
правилам умножения двучлена на двучлен, учитывая равенство
i2= –1. Заметим, что z⋅ z =х2+у2. Если z2 ≠ 0 т.е. x2 ≠ 0 или у2 ≠ 0,
то определена операция деления
()(
z
z
2
1
+
= +
1
x2
x iy1
2
iy ()(x −iy2
x x1 2
=
x iy1
x +iy2
1 +
2
=
у
у
z
x2
2
+
+
x −iy2
2
2
y y1 2
2
y2
)
)
+ i
=
x x + ()=
x2 + y2
1 2
x y2 1
2
x2
+
−
y y +i x y − x y1 2
2
1 2
x y1 2
2
y2
2 1
2
.
0
z2 = 1 + 2i.
Тогда
z
z
2
1
х
+ = +
= +
1 2
1 3
i
i
()
()
1 2 (1 2 )
1 3 (1 2 )
i
+ i
− i
3
х
Проиллюстрируем последнюю операцию примером. Пусть z1 = 1 + 3i,
− i
= + = +
i
7
5
5
7
5
1
i .
ϕ
Стр.3
Комплексные числа можно интерпретировать геометрически
точки 0 до точки z равно
как точки координатной плоскости. Числу z=x+iy ставится в соответствие
точка плоскости с координатами (х, у). Расстояние от
2
x2 y+
дулем комплексного числа z и обозначается │z│= x2 y+
– эта величина называется мо2
. Угол
ϕ, который образует вектор z0 с осью 0х, называется аргументом
комплексного числа z. Понятно, что аргумент определяется неоднозначно,
а с точностью до слагаемого вида 2πп, п∈Z, и обозначается
ϕ=arg z. Очевидно, что х=│z│cos ϕ, y=│z│sin ϕ, и тогда
комплексное
число
может
быть
записано
метрическая форма z = 2 (cos 4
Для z=i модуль│z│=1, arg z= 2
Так, для числа z=1+i модуль │z│= 2 , arg z= 4
+i sin 4
).
, z =cos 2
+i sin 2
=i.
Для z= –1 модуль│z│=1, arg z=π, z =cos π +i sinπ = –1.
Тригонометрическая форма удобна, в частности, для умножения
и деления комплексных чисел. Если z1=│z1│(cos ϕ1+isin ϕ1) и
z2=│z2│(cos ϕ2+isin ϕ2), то произведение чисел представляется как
z1⋅z2=│z1││z2│((cos ϕ1cos ϕ2–sin ϕ1sin ϕ2)+
+i(sin ϕ1cos ϕ2+ sin ϕ2 cos ϕ1))=│z1││z2│(cos (ϕ1+ϕ2) +isin (ϕ1+ϕ2)).
Отсюда следует, что для любого натурального числа п и любого
комплексного числа z=│z│(cos ϕ+isin ϕ) п-ая его степень
равна zп=│z│п(cos пϕ+isin пϕ).
Частное двух комплексных чисел выражается, как
()
()
z zcos isin
zz cos
1 11 1
22 2
=
=
2
1
+
+ isin 2 22
=⋅ +− =+−isin cos
1 11cos isin cos isin 2
z ()(
zcos()(
2
2
2
isin 2
z
z (cos (ϕ1–ϕ2) +isin (ϕ1–ϕ2)), где z2 ≠0.
4
)
)
в
виде
z=│z│cos ϕ+i│z│sin ϕ=│z│(cos ϕ+isin ϕ). Последнее представление
называется тригонометрической формой комплексного числа.
, его тригоноπ
π
π
π
π
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
Стр.4
z. Так как по формуле Эйлера еi
И, наконец, рассмотрим еще одну форму комплексного числа
+isin ϕ, то
= cos
z=│z│(cos ϕ+isin ϕ)=│z│ еiϕ.
Это экспоненциальная форма комплексного числа.
Очень важной операцией является извлечение корня. Пусть
z – комплексное число. По определению n
где
что wn = z. Если z = r(cos ϕ + isin ϕ), а w = (cos
r = │z│ и
откуда
Откуда получаем
2
k =
n +
соответственно,
wk= n z = n r
n z
e
i
( 2 )
n
k
cos
= n
z – это такое число w,
+ isin
z = r(cos (ϕ + 2 k) + isin (ϕ + 2 k)), получим равенство
n(cos nψ+isin n ) = r(cos (ϕ+2 k)+isin (ϕ+2 k)), k ∈ Z.
n = r, следовательно,
r ; n
ем n различных значений аргумента
n
+ 2 k
n
+i sin
n + 1 =
различных
+ 2 k
n
значений
, k=0, 1, … , n–1.
числа, то корень можно выразить как n
+
а) z2+4z+8=0,
г) z4+16=0,
д) z6–7z3–8=0,
Если использовать экспоненциальную форму комплексного
+
z = n z ei( 2 )
k
. Приведем примеры. Решить уравнения:
б) z2=1+i,
е) z2–3iz–2=0.
в) z3=1,
Решения:
а) D = 16 – 32 = –16, z1,2 =
б) z= 1+i =
= 4 2
cos
4
2 cos 4 2 k
+ 2 k
2
+
+i sin 4
+ 2 k
2
− 4 −±
2
+
5
.
16
= –2 ± 2i.
i sin 4 2 k =
+
=
),
= │w│, то, представив z в виде
= ϕ+2 k,
n k. Придавая значения k = 0, 1, … , n–1, получаk
(
1 + 2 и т.д.) и,
корня
ψ
ϕ
ϕ
π
ρ
π
ρ
ψ
π
ρ
ϕ
ψ
ϕ
π
π
ϕ
π
π
π
π
π
π
ρ
π
π
π
ϕ
π
ψ
ψ
π
ψ
ψ
ρ
ψ
π
π
ϕ
π
Стр.5