С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов
Локальные методы анализа
динамических систем
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика и
Прикладная математика и информатика
Ярославль 2006
УДК 517.925+517.928
ББК В162я73
Г 52
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> М.В. Ломоносова
Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов;
Г 52 Яросл. гос. ун-т. <...> Нормализация динамической системы на устойчивом интегральном многообразии позволяет выделить систему малой размерности,
отвечающую за локальные свойства исходной системы. <...> Сказанное делает актуальным разработку по возможности более экономного алгоритма построения нормальной формы. <...> В пособии предлагается алгоритм, в ходе выполнения которого укороченная нормальная форма возникает из условий разрешимости для одного из
очередных слагаемых нормирующей замены, при этом она уже оказывается
подходящим образом масштабированной по входящим переменным. <...> 1.2
Нормализация Пуанкаре-Дюлака
Согласно [12], рассмотрим формальный векторный степенной ряд F (x) =
A0 x+. . . от n переменных с комплексными коэффициентами. <...> Если собственные числа матрицы A нерезонансны,
то уравнение
x˙ = A0 x + . . . <...> Следует отметить, что наибольший интерес, например, с точки зрения
теории бифуркаций, вызывает иная ситуация, когда собственные числа матрицы лежат в левой комплексной полуплоскости и часть спектра находится на мнимой оси. <...> В этой ситуации большое значение приобретает теория
интегральных многообразий (центральных многообразий), в соответствии с
которой фазовое пространство динамической системы удается расщепить на
устойчивое и нейтральное многообразие, и затем изучать решения уже только на многообразии. <...> Алгоритмы нормализации систем ОДУ
1.3
Теорема о центральном многообразии
Согласно [6], рассмотрим векторное поле
x˙ = Ax + f (x, y),
y˙ = By + g(x, y),
(x <...>
Локальные_методы_анализа_динамических_систем_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов
Локальные методы анализа
динамических систем
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика и
Прикладная математика и информатика
Ярославль 2006
Стр.1
УДК 517.925+517.928
ББК В162я73
Г 52
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов;
кафедра математики физического факультета Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова
Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем:
учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов;
Г 52 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 92 с.
ISBN 5-8397-0509-8 (978-5-8397-0509-8)
Изложена теория нормальных форм в приложении к динамичеза
динамических систем“ (блок ДС) предназначено студентам
специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика
и информатика очной формы обучения.
Рис. 21. Библиогр.: 32 назв. Табл. 4
ским системам с конечномерным и бесконечномерным фазовым
пространством. Приводится эффективный алгоритм вычисления
коэффициентов нормальной формы.
Учебное пособие по дисциплине ”Численные методы аналиУДК
517.925+517.928
ББК В161.61.я73
ISBN 5-8397-0509-8
(978-5-8397-0509-8)
Ярославский
c
государственный университет
им. П.Г. Демидова, 2006
Глызин С.Д.,
Колесов А.Ю., 2006
c
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Алгоритмы нормализации систем ОДУ
7
1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Нормализация Пуанкаре-Дюлака . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Теорема о центральном многообразии . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Структура нормальной формы
в простейших случаях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Транскритическая и вилообразная бифуркации . . . . 15
1.5.2 Бифуркация Андронова-Хопфа . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Обзор бифуркаций коразмерности два . . . . . . . . . . 22
1.6 Резонанс 1:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Динамические свойства нормальной формы . . . . . . . 29
1.6.2 Обоснование некоторых результатов . . . . . . . . . . . 35
1.7 Резонанс 1:2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.1 Нормальная форма в случае малости
квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2 Нормальная форма в случае, если квадратичная нелинейность
зависит от √ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.3 Нормальная форма в случае произвольной
квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Алгоритмы нормализации отображений
45
2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Нормализация отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Отображение, моделирующего динамику взаимодействия трех
автогенераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 Нормальная форма отображения . . . . . . . . . . . . . 47
3
Стр.3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.3.3 Динамические свойства нормальной формы
отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Нормализация дифференциально-разностных уравнений 59
3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Алгоритмы построения нормальной
формы дифференциальных уравнений
с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Учет возрастных групп в уравнении
Хатчинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Локальный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Резонанс 1:2 в уравнении второго порядка
с периодически возмущенным
запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Стр.4
Введение
В конце 19 – начале 20 века А.Пуанкаре поставил задачу качественного
анализа дифференциальных уравнений. Успехи современных математических
теорий, касающихся исследования поведения нелинейных динамических
систем, так или иначе связаны с решением именно этой задачи.
В ряду инструментов, разработанных для качественного анализа систем
нелинейных дифференциальных уравнений, важное место занимает метод
нормальных форм. Идея метода была высказана Пуанкаре в его диссертации
и состояла в нахождении такого класса автономных динамических систем,
которые можно было бы с помощью специальных замен свести к линейным.
На этом пути было введено понятие резонансности собственных чисел матрицы
линейной части системы и доказано, что в случае отсутствия таких
резонансов сведение возможно. Позднее Дюлак выполнил обобщение этого
результата на резонансный случай и показал, что в этой ситуации простейшим
видом преобразованной системы является выражение, содержащее в
правой части, наряду с линейными слагаемыми, еще и не уничтожаемые заменами
резонансные члены. Такую систему называют нормальной формой,
и ее построение позволяет успешно проанализировать локальную динамику
изучаемой системы.
Однако по-настоящему действенным метод нормальных форм стал после
работ, принадлежащих Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову и Ю.А. Митропольскому
[1–3], в которых разрабатывались асимптотические методы нелинейных
колебаний. Нормализация динамической системы на устойчивом интегральном
многообразии позволяет выделить систему малой размерности,
отвечающую за локальные свойства исходной системы. В настоящее время
методу нормальных форм посвящено большое число различных исследований,
сошлемся здесь лишь на самые, на наш взгляд, заметные, вышедшие в
последние годы [4–11].
Сказанное делает актуальным разработку по возможности более экономного
алгоритма построения нормальной формы. Заметим, что наиболее
интересные выводы о качественном поведении получаются при изменении
5
Стр.5