В.Ш. Бурд
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика
и Прикладная математика и информатика
Ярославль 2006
УДК 517.925
ББК В16я73
Б 91
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> Совершенные нигде не плотные множества
на вещественной прямой . <...> Цель
пособия дать доступное студентам 3 4 курсов введение в круг вопросов, связанных с поведением нелинейных дискретных динамических систем, определяемых одномерными отображениями. <...> Описываются локальные бифуркации, возникающие при прохождении мультипликатора цикла через значения ±1. <...> Развивается общая техника, которая
позволяет из существования цикла периода k вывести существование циклов
некоторых других периодов. <...> В пятом параграфе доказывается теорема Сингера о связи между устойчивостью циклов и критическими точками функции,
порождающей динамическую систему. <...> В качестве примера изложенной теории во второй главе детально исследуется однопараметрическое семейство квадратичных функций f (x, r) = rx(1 x)
при изменении параметра r от 0 до значений r > 4. <...> Попутно обсуждается каскад
бифуркаций удвоения, вводятся постоянные Фейгенбаума, излагаются методы
подсчета числа неустойчивых циклов. <...> Исследуется динамика отображения f (x) = rx(1x)
при r > 4. <...> Вводится и изучается отображение сдвига на пространстве последовательностей из двух символов. <...> В семи приложениях описываются асимптотика одномерных итераций, построение нигде не плотных совершенных множеств на вещественной прямой,
основные понятия теории гиперболических множеств и применение этих поня
тий к исследованию динамики отображения f (x) = rx(1x) при 4 < r < 2+ 5,
6
динамика одного кусочно-линейного разрывного отображения, понятие хаоса по
Ли - Йорку, фрактальная размерность множеств на вещественной прямой, показатель Ляпунова. <...> Введение
Одномерная дискретная динамическая <...>
Введение_в_динамику_одномерных_отображений_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
Â.Ø. Бурд
ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Учебное пособие
Рекомендовано
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика
и Прикладная математика и информатика
Ярославль 2006
Стр.1
УДК 517.925
ББК Â16ÿ73
Б 91
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года.
Рекомендовано
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ô. Áóòóçîâ;
Ярославск кафедра математического анализа
Рецензенты:
ого государственного педагогического университета
Б 91 ßðÃÓ, 2006. 104 ñ.
ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6)
Книга посвящена изложению основ теории одномерных дисБурд,
В.Ш. Введение в динамику одномерных отображений:
учебное пособие / В.Ш. Бурд; Яросл. гос. ун-т. Ярославль:
кретных динамических систем одному из самых эффективных
методов исследования нелинейных процессов. Вводятся основные
понятия и доказываются основные теоремы. Рассматриваются
вопросы бифуркации и устойчивости периодических орбит,
их сосуществования. Подробно исследованы наиболее простые
нелинейные отображения интервала.
Учебное пособие по дисциплине ½Дифференциальные уравнения“
(блок ОПД) предназначено студентам специальностей
010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика
очной формы обучения.
Ðèñ. 14. Áèáëèîãð.: 32 íàçâ.
УДК 517.925
ББК Â16ÿ73
ISBN 5-8397-0491-1
(978-5-8397-0491-6)
Ярославский
c
Бурд Â.Ø., 2006
государственный университет
c èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà, 2006
Стр.2
Оглавление
Предисловие
1. Основные понятия и теоремы
1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. 1.1.1. Вспомогательные сведения из анализа . . . . . . . . . . . . 8
5
7
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Топологическая сопряженность . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. 1.2.2. Грубые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Локальные бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Глобальные бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Производная Шварца
и притягивающие циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Семейство квадратичных отображений
2.1. Каскад бифуркаций удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Цикл периода 3
2.3. и число неустойчивых циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
45
2.4. Динамика отображения f(x) = 4x(1−x) . . . . . . . . . . . . . . 58
Динамика отображения f(x, r) = rx(1−x)
при r > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.1. Пространство последовательностей из двух символов . . . 73
2.4.2. Отображение сдвига в Σ2 и отображение f(x, r)
при r > 2+√5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Приложения
79
Приложение 1. Асимптотика одномерных итераций . . . . . . . . 79
Приложение 2. Совершенные нигде не плотные множества
на вещественной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Приложение 3. Гиперболические множества
и отображение f(x, r) = rx(1−x) при r > 4 . . . . . . . . . . . . 88
3
Стр.3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение 4. Одно кусочно-линейное разрывное отображение . 93
Приложение 5. Цикл периода 3 и хаос . . . . . . . . . . . . . . . 95
Приложение 6. Фрактальная размерность множеств . . . . . . . . 95
Приложение 7. Показатель Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Литература
102
Стр.4
Предисловие
читВ основу настоящего учебного пособия положен специальный курс, который
пособия дать доступное студентам 3 4 курсов введение в круг вопросов, связанных
с поведением нелинейных дискретных динамических систем, определяемых
одномерными отображениями. Эта тематика в последние 25 лет вызывает
огромный интерес, так как ее методы и результаты применимы к большому
числу важных нелинейных задач от физики и химии до экологии и экономики.
ло Учебное пособие состоит из 2 глав, включающих 9 параграфов, и семи приается
автором студентам специальности “Прикладная математика“. Цель
основные понятия неподвижные точки, циклы. Обсуждаются вопросы устойчивости
циклов, топологической сопряженности отображений, грубости отображений.
В третьем параграфе рассматриваются однопараметрические семейства
отображений. Описываются локальные бифуркации, возникающие при прохождении
мультипликатора цикла через значения ±1. В одномерном случае существуют
сильные ограничения на тип периодических орбит, которые могут сосуществовать.
В четвертом параграфе обсуждаются вопросы сосуществования
периодических орбит разных периодов. Развивается общая техника, которая
позволяет из существования цикла периода k вывести существование циклов
некоторых других периодов. Для этого используется конструкция соответствующего
направленного графа. В пятом параграфе доказывается теорема Сингера
о связи между устойчивостью циклов и критическими точками функции,
порождающей динамическую систему.
с В качестве примера изложенной теории во второй главе детально исследуетжений.
В
первой главе излагаются вспомогательные сведения из анализа, вводятся
я однопараметрическое семейство квадратичных функций f(x, r) = rx(1 − x)
при изменении параметра r от 0 до значений r > 4. Попутно обсуждается каскад
бифуркаций удвоения, вводятся постоянные Фейгенбаума, излагаются методы
подсчета числа неустойчивых öèêëîâ. Для отображения f(x) = 4x(1−x) дается
достаточно полное описание динамики. Здесь же приводится одно из возможных
определений хаотического отображения и доказывается, что вышеуказанное
отображение хаотично. Исследуется динамика отображения f(x) = rx(1−x)
при r > 4. Вводится и изучается отображение сдвига на пространстве последовательностей
из двух символов. Дано полное описание динамики отображения
f(x) = rx(1−x) при r > 2+√5.
В семи приложениях описываются асимптотика одномерных итераций, построение
нигде не плотных совершенных множеств на вещественной прямой,
основные понятия теории гиперболических множеств и применение этих понятий
к исследованию динамики отображения f(x) = rx(1−x) при 4 < r < 2+√5,
Стр.5