Введение в динамику одномерных отображений: учебное пособие (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Â.Ø. Бурд ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Учебное пособие Рекомендовано ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика Ярославль 2006

Стр.1

УДК 517.925 ББК Â16ÿ73 Б 91 Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2006 года. Рекомендовано ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ô. Áóòóçîâ; Ярославск кафедра математического анализа Рецензенты: ого государственного педагогического университета Б 91 ßðÃÓ, 2006. 104 ñ. ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6) Книга посвящена изложению основ теории одномерных дисБурд, В.Ш. Введение в динамику одномерных отображений: учебное пособие / В.Ш. Бурд; Яросл. гос. ун-т. Ярославль: кретных динамических систем одному из самых эффективных методов исследования нелинейных процессов. Вводятся основные понятия и доказываются основные теоремы. Рассматриваются вопросы бифуркации и устойчивости периодических орбит, их сосуществования. Подробно исследованы наиболее простые нелинейные отображения интервала. Учебное пособие по дисциплине ½Дифференциальные уравнения“ (блок ОПД) предназначено студентам специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения. Ðèñ. 14. Áèáëèîãð.: 32 íàçâ. УДК 517.925 ББК Â16ÿ73 ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6)  Ярославский c  Бурд Â.Ø., 2006 государственный университет c èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà, 2006

Стр.2

Оглавление Предисловие 1. Основные понятия и теоремы 1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. 1.1.1. Вспомогательные сведения из анализа . . . . . . . . . . . . 8 5 7 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Топологическая сопряженность . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. 1.2.2. Грубые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Локальные бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Глобальные бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Производная Шварца и притягивающие циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2. Семейство квадратичных отображений 2.1. Каскад бифуркаций удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. Цикл периода 3 2.3. и число неустойчивых циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 45 2.4. Динамика отображения f(x) = 4x(1−x) . . . . . . . . . . . . . . 58 Динамика отображения f(x, r) = rx(1−x) при r > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4.1. Пространство последовательностей из двух символов . . . 73 2.4.2. Отображение сдвига в Σ2 и отображение f(x, r) при r > 2+√5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Приложения 79 Приложение 1. Асимптотика одномерных итераций . . . . . . . . 79 Приложение 2. Совершенные нигде не плотные множества на вещественной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Приложение 3. Гиперболические множества и отображение f(x, r) = rx(1−x) при r > 4 . . . . . . . . . . . . 88 3

Стр.3

4 ОГЛАВЛЕНИЕ Приложение 4. Одно кусочно-линейное разрывное отображение . 93 Приложение 5. Цикл периода 3 и хаос . . . . . . . . . . . . . . . 95 Приложение 6. Фрактальная размерность множеств . . . . . . . . 95 Приложение 7. Показатель Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Литература 102

Стр.4

Предисловие читВ основу настоящего учебного пособия положен специальный курс, который пособия дать доступное студентам 3 4 курсов введение в круг вопросов, связанных с поведением нелинейных дискретных динамических систем, определяемых одномерными отображениями. Эта тематика в последние 25 лет вызывает огромный интерес, так как ее методы и результаты применимы к большому числу важных нелинейных задач от физики и химии до экологии и экономики. ло Учебное пособие состоит из 2 глав, включающих 9 параграфов, и семи приается автором студентам специальности “Прикладная математика“. Цель основные понятия неподвижные точки, циклы. Обсуждаются вопросы устойчивости циклов, топологической сопряженности отображений, грубости отображений. В третьем параграфе рассматриваются однопараметрические семейства отображений. Описываются локальные бифуркации, возникающие при прохождении мультипликатора цикла через значения ±1. В одномерном случае существуют сильные ограничения на тип периодических орбит, которые могут сосуществовать. В четвертом параграфе обсуждаются вопросы сосуществования периодических орбит разных периодов. Развивается общая техника, которая позволяет из существования цикла периода k вывести существование циклов некоторых других периодов. Для этого используется конструкция соответствующего направленного графа. В пятом параграфе доказывается теорема Сингера о связи между устойчивостью циклов и критическими точками функции, порождающей динамическую систему. с В качестве примера изложенной теории во второй главе детально исследуетжений. В первой главе излагаются вспомогательные сведения из анализа, вводятся я однопараметрическое семейство квадратичных функций f(x, r) = rx(1 − x) при изменении параметра r от 0 до значений r > 4. Попутно обсуждается каскад бифуркаций удвоения, вводятся постоянные Фейгенбаума, излагаются методы подсчета числа неустойчивых öèêëîâ. Для отображения f(x) = 4x(1−x) дается достаточно полное описание динамики. Здесь же приводится одно из возможных определений хаотического отображения и доказывается, что вышеуказанное отображение хаотично. Исследуется динамика отображения f(x) = rx(1−x) при r > 4. Вводится и изучается отображение сдвига на пространстве последовательностей из двух символов. Дано полное описание динамики отображения f(x) = rx(1−x) при r > 2+√5. В семи приложениях описываются асимптотика одномерных итераций, построение нигде не плотных совершенных множеств на вещественной прямой, основные понятия теории гиперболических множеств и применение этих понятий к исследованию динамики отображения f(x) = rx(1−x) при 4 < r < 2+√5,

Стр.5