Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ
в комплексной плоскости
Часть 2
Ярославль 2004
1
Стр.1
ББК В 161.55я73
Р 98
УДК 517
Составители Л.А. Зафиевская, Г.В. Шабаршина
Ряды и интегралы в комплексной плоскости. Ч. 2: Метод.
указания / Сост. Л.А. Зафиевская, Г.В. Шабаршина; Яросл. гос. ун-т.
Ярославль, 2004. 19 с.
Вторая часть методических указаний посвящена изучению
применения теории вычетов к вычислению интегралов. Ее цель –
научить студентов вычислению интегралов в комплексной плоскости.
В качестве приложения теории вычетов рассматривается вычисление
интегралов от функции действительного переменного.
Методические указания предназначены для студентов,
обучающихся по специальностям 010200 Прикладная математика и
информатика (дисциплина "Математический анализ", блок ЕН) и
010100 Математика (дисциплина "Теория функций комплексного
переменного", блок ОПД), очной формы обучения.
Рецензент – кафедра математического анализа Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова
© Ярославский государственный университет, 2004
© Л.А. Зафиевская, Г.В. Шабаршина, 2004
2
Стр.2
1. Вычеты
Если а – изолированная особая точка функции ( )zf
вычетом ( )zf
в точке а называется число
[
res f z a]=
( ),
1
называется число res [ f z ∞ =
( ),
]
2 i {z R
равен 0. После доопределения
аналитической в круге z a r≤−
может быть не равен 0.
Пример 1.1.
Но [res f z ∞ =
( ),
0 < z a r<−
c =
n
1
]
∫ }=
2 i { −z a r
∫ }=
f z dz ,
( )
где r – достаточно мало (при положительном обходе окружности).
Вычетом функции
( )
велико (при обходе окружности z R= по часовой стрелке).
Если ∞≠a
и по теореме Коши
{
f z =
1
( ) 1 , im =
z →∞ z
z
2 i { z R} z dz = −
∫
=
1
l 1 0, т. е. ∞=z
2
2 i ∫
1
0
i d
i
e
i
e
= −1 (минус за счет
обхода окружности по часовой стрелке).
Если а – изолированная особенность функции
ряд Лорана, при этом
(
2 i { − =
z a r} z a)n 1
∫
f ( )z , то в кольце
, или если a = ∞, то для a = z R> ее можно разложить в
− + dz или cn =
f z( )
3
1
2 i { z R} z
∫
=
f z( )
n+1 dz .
(1)
f ( )z в изолированной особой точке ∞
1
и ∞≠a
, то
f z dz , где R > 0 достаточно
и a – устранимая особая точка, то вычет в этой точке
f ( )z в точке а она становится
∫ ( ) =
z− =ra
f z dz
}
0.
Если же устранимая особенность в ∞, то вычет в этой точке
устранимая точка.
π
π
π ϕϕϕ
π
π
π
π
Стр.3
В частности,
1
c− = res [ f z a]=
( ),
− − = −
c 1
1
1
2 i {z a r
2 i {z R}
=
В последней формуле минус возникает за счет того, что при
обходе контура против часовой стрелки ограничиваемая им область
находится справа.
Формулы (2) позволяют вычислять вычеты, если удалось
разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки а. При этом
нас будет интересовать в этом разложении только один коэффициент
c 1− . Это сильно упрощает задачу.
Пример 1.2. Вычислить вычет в точке а = 0 функции
окрестности нуля. Так как
ctgz
z2
=
1
z3
1−
1−
z
z
2!
2
3!
2
+
+
z
z
4!
4
5!
4
z
+...
=
+...
z3 ( 0
1
Следовательно, c 1 d=−
1 0d= ,
d2 −= . Итак, re ctgz
3
1
s
z2 ,0 −=
d
2 =
z
cos
2
z
sin z
f z =
( )
ctgz
2
z
.
Для этого найдем разложение этой функции в ряд Лорана в
ctgz
и разложения c zos и si zn
по степеням z известны, то применим метод неопределенных
коэффициентов.
+ d1z d z2 ...)+ =
+
2
2 или res [ f z( ),0 d2
0 d= ,
1
3
1
.
окрестности полюса, можно сократить и упростить вычисления, если
известен порядок полюса. Дело в том, что если
4
При нахождении коэффициентов в ряде Лорана, построенного в
a ≠ ∞ - полюс
− = d − . Следовательно,
приведем подобные члены и приравняем коэффициенты в обеих
частях. Получим
2
1
]= . Перемножим ряды,
d
2
3 !
0
z
d
3
0
+
z
d
2
1
+
d2 + +
z d3 ....
( )
− = }
( )
∫ f z dz =re f z a],
s[
( ),
(2)
∫ f z dz =res[ f z( ),∞]
π
π
Стр.4
порядка k, то ряд Лорана содержит лишь конечное, не больше k,
число отрицательных степеней
можно искать в формуле
f z( )
= ∑
∞
c z a)
n ( −
. Заметим, что если
n k=−
порядок полюса равен k > 1, то c− ≠ 0k
, другие же коэффициенты, в
том числе и вычет 1−c , могут равняться 0.
Так, например, если функция
( )
.
f z =
( − )
z a k имеет в a полюс
1
порядка k, то в ее лорановском разложении все cn = 0, если n k≠
и c− =1k
нуля.
Если полюс порядка 1, то вычет в этой точке всегда отличен от
Если
f z ∑
−∞
( ) =
n k
=
коэффициента nc называется кратностью полюса в ∞.
Вычисление вычета путем выяснения величины 1−c
в ряде
Лорана обычно применяется, если a - существенно особая точка или
определить характер особенности затруднительно. Обычно при
вычислении вычета в ∞ также используют разложения в ряд Лорана.
В случае полюсов известной кратности можно воспользоваться
следующими формулами:
1. Пусть
условиям
( ) 0,
a =
аналитичны в окрестности точки
′ ≠
(a) 0
2. Пусть
res f z a]
. Тогда
[
тична в окрестности точки a, тогда
[
res f z a]
( ), =
f ( )z представима в виде f z( ) =
a o≠
( ), =
f ( )z представима в виде
1
(m−1)!
5
′ a
( )
( )
a
.
f z =
( )
( 1) a( ) .
m−
( − )
z a m
z
( )
,
( )z
( )
( )
z
z
и
, где
( )z
( )z
и
( )z
удовлетворяет
(3)
анали(4)
cn
z
f ( )z имеет полюс в ∞, то ряд Лорана имеет вид
n
, при этом наибольший номер отличного от 0
z a− . Таким образом, ряд сразу
n
ψ
ϕ
ϕψ ψ
θ
ϕψ
θ
ψ
ψ
θ
Стр.5