3
Часть 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Раздел I
КОМБИНАТОРИКА
При изучении процедур случайного выбора, задач о размещении и
упорядочении азартных игр мы имеем дело с конечным пространством
элементарных событий . <...> Чтобы найти вероятность некоторого события A,
мы должны разделить число элементарных событий, составляющих A,
(благоприятные случаи) на общее число элементарных событий (возможные случаи). <...> Второе место может быть заполнено двумя способами для каждого случая
заполнения первого места. <...> Тогда общее число перестановок находится перемножением числа способов заполнения первого, второго и третьего
мест: 321 = 6. <...> Формула для числа перестановок
Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. <...> Это можно сделать n – 1 способами для каждого случая заполнения первой ячейки. <...> Аналогично третья ячейка заполняется n – 2 способами для каждого случая заполнения первой и второй ячеек. <...> Тогда число различных случаев заполнения ячеек определяется перемножением числа способов заполнения каждой ячейки:
n(n–1) (n–2)… 1 = n! <...> Таким образом, число перестановок из n элементов определяется по
формуле
Pn n ! <...> Тогда общее число размещений трех книг из семи равно произведению числа способов расстановки книг: 765 = 210. <...> Можно показать, что число размещений из n по m равно
n! <...> Число размещений из 7 объектов по 3 равно: A
3
7 <...> Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв
слова «учебник»? <...> Для получения пятибуквенного
слова нужно из этих семи букв выбрать пять, и расположить их в определенном порядке. <...> Сколько различных слов, содержащих все буквы, можно составить из слова «корнет»? <...> Поскольку при построении
слов мы используем все буквы, меняя их местами, то полученные слова являются перестановками из шести букв слова «корнет». <...> Число таких слов равно числу перестановок из шести элементов: Р6 = 6! <...> Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) повторяющиеся цифры <...>
Теория_вероятностей.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.А. ПОЗДЕЕВ, Д.В. МОХОВНЕВ,
Е.Н. БЕЛОУСОВА
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
НОВОСИБИРСК
2009
Стр.1
УДК 519.2(075.8)
П 471
Рецензенты: Е.Г. Подружин, д-р техн. наук, проф.
В.Е. Левин, д-р техн. наук, проф.
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
и утверждена Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия для студентов II курса ФЛА
(специальности 153300, 160100, 080502, 160201, 280200)
дневного отделения
Поздеев А.А.
П 471 Теория вероятностей : учеб.-метод. пособие / А.А. Поздеев,
Д.В. Моховнѐв, Е.Н. Белоусова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,
2009. –76 с.
ISBN 978-5-7782-1123-0
Пособие состоит из двух частей, которые, в свою очередь, составлены из
нескольких разделов. Каждый раздел содержит теоретическое введение, примеры
решения задач и условия задач (25 вариантов в каждом разделе). Первая
часть посвящена случайным событиям, вторая – случайным величинам.
УДК 519.2(075.8)
ISBN 978-5-7782-1123-0
© Поздеев А.А., Моховнев Д.В.,
Белоусова Е.Н., 2009
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................................................................. 3
ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ..................................................... 4
Раздел I. Комбинаторика ......................................................................... 4
Задачи к разделу I ................................................................ 10
Раздел II. Операции над случайными событиями ................................ 12
Задачи к разделу II ............................................................... 17
Раздел III. Непосредственный подсчет вероятностей .......................... 19
Задачи к разделу III .............................................................. 23
Раздел IV. Геометрические вероятности .............................................. 26
Задачи к разделу IV.............................................................. 29
Раздел V. Условные вероятности. Вероятности сумм
и произведений событий ..................................................... 32
Задачи к разделу V ............................................................... 35
Раздел VI. Формулы полной вероятности и Байеса ............................. 38
Задачи к разделу VI.............................................................. 42
Раздел VII. Схема Бернулли ................................................................. 46
Задачи к разделу VII ............................................................ 50
ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ............................................... 54
§ 1. Одномерные случайные величины ............................... 54
§ 2. Двумерные случайные величины ................................. 57
74
Стр.74
Раздел I. Дискретные двумерные случайные величины ...................... 58
Задачи к разделу I ................................................................ 63
Раздел II. Непрерывные двумерные случайные величины ................. 66
Задачи к разделу II ............................................................... 69
Литература............................................................................................. 73
75
Стр.75