ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, NУДК
517.9:539.3
УСЛОЖНЕННЫЕ СТРУКТУРЫ ГАЛИЛЕЕВО-ИНВАРИАНТНЫХ
ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
С. К. Годунов, В. М. Гордиенко
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090 Новосибирск
Продолжается исследование галилеево-инвариантных уравнений математической физики,
начатое ранее с использованием коэффициентов Клебша — Гордана из теории произведений
представленной группы SO(3). Конструируются сложные системы законов
сохранения и термодинамические тождества. Приводятся конкретные примеры.
Введение. Данная работа является продолжением начатого в [1] детального исследования
термодинамических структур галилеево-инвариантных уравнений математической
физики, содержащих законы сохранения массы, импульса и энергии, а также компенсационные
энтропийные уравнения. Для того чтобы такие уравнения отражали содержание
классических термодинамических соотношений, при их формулировке должна быть использована
производящая функция L, зависящая от искомых функций, вектор-функций и
температуры. Эта производящая функция выполняет роль термодинамического потенциала
среды, описываемой уравнениями. Законы сохранения, порождаемые такими термодинамическими
потенциалами, обсуждаются в литературе начиная с 60-х гг. (см. работу [1] и
библиографию к ней). Детально описанная в [1] простейшая структура уравнений, к сожалению,
не охватывает всех известных и уже достаточно подробно изученных примеров из
классической математической физики. Такие примеры описаны в [2] и в заключительной
главе монографии [3]. В частности, в простейшую структуру не укладываются уравнения
нелинейной упругости, магнитной гидродинамики. Усложненные конструкции законов
сохранения, предлагаемые в настоящей работе, уже включают перечисленные примеры.
Диссипативные процессы диффузии, теплопроводности и вязкого трения здесь не рассматриваются,
за исключением одного примера.
Мы предполагаем от читателя знакомство с работой [1] и используем аналогичные
обозначения. Так же как и в [1], мы опираемся на теорию ортогональных представлений
группы вращений SO(3), ограничиваясь нечетномерными однозначными представлениями
целых весов N.
Усложненные системы уравнений конструируются в п. 2 из исходных простейших,
описанных в [1] систем путем добавления в уравнения специальных дополнительных слагаемых.
Эти слагаемые подбираются так, чтобы они не нарушали законов сохранения.
Подбор возможных слагаемых основан на заранее подготовленной в п. 1 коллекции тождеств
обобщенного векторного анализа.
В п. 3 из всех описанных усложненных систем отобраны те, для которых удается
доказать, что они допускают запись в виде симметрических гиперболических уравнений.
Приводятся варианты замены изучаемых уравнений переопределенными совместными системами
законов сохранения. При этом используется и развивается схема, частично опиРабота
выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
проекта 01-01-00766).
◦ 2
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N◦
2
санная в [3, 4]. В п. 4 содержатся конкретные примеры уравнений, входящих в описываемый
класс усложненных термодинамически согласованных структур.
1. Обобщенное векторное исчисление. Так же как в [1], предполагаем, что каждая
из неизвестных вектор-функций q(A) при вращениях системы координат преобразуется
по неприводимому представлению веса A группы SO(3). Координатный вектор x
трехмерного евклидова пространства зададим его декартовыми компонентами x−1, x0, x1.
Вектор-функция q(N) имеет 2N+1 вещественные составляющие q(N)
−1, 0, 1, . . . ,N − 1,N). Вращение координатной системы задается ортогональной матрицей
P с положительным определителем (PтP = I3, detP = +1), при этом x заменяется на
помощью стандартной (2N+1)×(2N+1)-матрицы Ω(N)(P), осуществляющей представление.
По определению представлений Ω(N)(I3) = I2N+1, Ω(N)(P1 ·P2) = Ω(N)(P1) ·Ω(N)(P2).
Вращение P обычно задается с помощью углов Эйлера ϕ, θ, ψ:
x = Px. При таком вращении вектор-функция q(N) преобразуется в ˆ
ˆ
q(N) = Ω(N)(P)q(N) с
P =
cosϕ −sinϕ 0
sinϕ cosϕ 0
0
0 1
1 0
0
0 cos θ −sin θ
0 sin θ cos θ
cosψ −sinψ 0
sinψ cosψ 0
0
0 1
.
Явные формулы для элементов матрицы Ω(N)(P), по которым эти элементы выражаются
через углы Эйлера ϕ, θ, ψ, приведены в конце нашей предыдущей статьи [1] и
мых представлений группы вращений. Пусть p(L), r(M) —векторы размерностей 2L+1 и
2M + 1, преобразующиеся при вращениях по неприводимым представлениям весов L, M.
Кронекеровым произведением этих векторов называется прямоугольная (2L+1)×(2M+1)матрица
Π с элементами Πlm = p(L)
обоснованы в [5]. При этом отмечалось, что Ω(1)(P) ≡ P.
Сформулируем основные положения теории кронекеровых произведений неприводиразмерности
(2L+1)×(2M +1).
При вращениях ˆ
l
· r(M)
ляющими также некоторое представление группы вращений. Такое представление называется
кронекеровым произведением представлений весов L, M. Если считать, что
скалярное произведение в пространстве (2L + 1) Ч (2M + 1)-матриц задается формулой
(Φ,Π) =
l,m
x = Px вектор Π преобразуется в ˆ
ΦlmΠlm = tr(ΦΠт), то кронекерово произведение ортогональных представлений
также будет ортогональным, но если среди весов L,M нет равных нулю, оно оказывается
приводимым. Его можно разложить в прямую сумму неприводимых ортогональных
представлений весов |L − M|, |L − M| + 1, |L − M| + 2, . . ., L +M − 1, L +M. Разложение
осуществляется с помощью так называемых коэффициентов Клебша — Гордана.
Эти коэффициенты естественно разместить в качестве матричных элементов специальных
матриц. Будем называть эти матрицы матрицами Клебша — Гордана. Каждая такая
(2L + 1) Ч (2M + 1)-матрица Gk
K[L,M] составляется из элементов Gk[l,m]
K[L,M], в записи
которых верхние индексы l, m (−L l L, −M m M) указывают номера строки
и столбца, на пересечении которых этот элемент расположен. Индексы K, k нумеруют
матрицы. Нижний индекс K (|L −M| K L +M) означает вес неприводимого представления,
верхний k — номер матрицы, являющейся каноническим базисным элементом
в (2K + 1)-мерном подпространстве матриц, преобразующихся по представлению веса K
(−K k K).
m . Эту матрицу можно рассматривать как вектор
Π преобразованиями, осуществn
(n = −N,−N+1, . . .,
Стр.2
С. К. Годунов, В. М. Гордиенко
5
В выборе канонических базисов имеется некоторый произвол. Базис, используемый
нами, обеспечивает равенство
Gk
K[L,M] = (−1)K+L+M{Gk
K[M,L]}т,
(1.1)
т. е. перестановка нижних индексов в квадратных скобках приводит к транспонированию
матрицы Клебша — Гордана и при нечетной сумме K + L +M — к смене знаков всех
элементов. Следует отметить, что условия ортонормированности
tr {Gk
K[L,M] · [Gn
допускают и следующую запись:
l=L,m=M
l=−L,m=−M
Приведем еще несколько полезных равенств:
G0[λ,l]
Gk[l,m]
K[L,M] =(2K +1)/(2M +1) Gm[k,l]
0[L,L] = δλl/√2L+1,
M[K,L] = (−1)K+L+M(2K +1)/(2L+1) Gl[k,m]
нации базисных матриц Клебша — Гордана
[p(L) ×r(M)] =
K=L+M
K=|L−M|
естественно коэффициенты w(K)
k=K
k=−K
размерностей 2K +1. В силу (1.2) компоненты этих векторов вычисляются по правилу
w(K)
k = tr {[p(L) ×r(M)] · [Gk
При повороте ˆ
щью преобразований ˆ
разования векторов ˆ
K[L,M]]т}.
k этой линейной комбинации сгруппировать в векторыw(K)
(1.4)
x = Px координатной системы векторы p(L), r(M) преобразуются с помоp(L)
= Ω(L)(P)p(L), ˆ
представления соответствующих весов. Естественно ввести обозначение
w(K) = [p(L) ×r(M)](K)
w(K) = Ω(K)(P)w(K). Эти преобразования реализуют неприводимые
r(M) = Ω(M)(P)r(M), а это индуцирует преоб(1.5)
и
назвать [p(L) ×r(M)](K) векторным произведением веса K векторов p(L), r(M). Напомним,
что |L − M| K L + M или, что то же самое, K L + M, L M + K,
M K +L (неравенства треугольника). Векторное произведение веса 0 только множителем
отличается от скалярного произведения векторных сомножителей, которые должны
иметь одинаковую размерность (одинаковый вес):
[p(L) ×r(L)](0) = 1
√2L+1 (p(L), r(L)) = 1
√2L+1
l=L
l=−L
Справедливо правило перестановки сомножителей
[p(L) ×r(M)](K) = (−1)K+L+M[r(M) ×p(L)](K),
вытекающее из (1.1).
p(L)
l r(L)
l
.
(1.6)
Gk[l,m]
K[L,M] ·Gn[l,m]
N[L,M] = δKNδkn.
N[L,M]]т} = δKN · δkn
(1.2)
(1.3)
L[K,M].
Представляя кронекерово произведение векторов p(L) и r(M) в виде линейной комбиw(K)
k
Gk
K[L,M]
,
Стр.3