ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, NУДК
517.9:539.3
ПРОСТЕЙШИЕ ГАЛИЛЕЕВО-ИНВАРИАНТНЫЕ
И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННЫЕ
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
С. К. Годунов, В. М. Гордиенко
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090 Новосибирск
Дается введение в основанную на теории представлений группы SO(3) формализацию
галилеево-инвариантных и термодинамически согласованных уравнений математической
физики, неизвестные в которых преобразуются при вращениях по неприводимым
представлениям целых весов.
Введение. Выделение термодинамически согласованных уравнений и систем, применяемых
в задачах механики и физики сплошных сред, начато в 60-е гг. XX в. [1, 2]. Первоначально
они использовались для построения примеров решений. В дальнейшем число
задач, изучаемых с помощью таких уравнений, увеличивалось, а системы уравнений становились
сложнее (см. [3–14]). В связи с этим были предприняты попытки использовать
для описания инвариантных относительно вращений термодинамически согласованных
систем аппарат теории представлений групп [15, 16]. Однако эти попытки пока не привели
к созданию прозрачной теории.
В настоящей работе, являющейся продолжением начатого в [12–16] группового анализа
системы дифференциальных уравнений в частных производных, изучаются лишь
простейшие термодинамически согласованные уравнения, но при этом детально исследуется
их инвариантность относительно галилеевых преобразований координатных систем.
Такие преобразования являются суперпозицией перехода в координатную систему, движущуюся
с постоянной скоростью, и ортогонального преобразования пространственных
координат. При этом неизвестные вектор-функции преобразуются с помощью ортогональных
представлений группы вращений SO(3) и пространственных отражений. В данной
работе рассматриваются лишь вращения, поэтому не делается различий между векторами
и псевдовекторами, которые по-разному реагируют на отражения.
Обычно используемые в механике тензорные переменные преобразуются при вращениях
по представлениям довольно сложной структуры, и их можно разложить на простейшие
из возможных неприводимые представления. Следует отметить, что для тензоров третьего
и б´
ольших рангов такое разложение неоднозначно. Поэтому большое внимание уделяется
символике, связанной с использованием неприводимых представлений.
В качестве примера приведем разложение произвольного ортогонального тензора второго
ранга на неприводимые составляющие. Такой тензор состоит из девяти элементов,
заполняющих матрицу 3 Ч 3, и разлагается на три тензорных слагаемых: диагональную
матрицу с одинаковыми диагональными элементами a = (a11 + a22 + a33)/3, кососимметрический
тензор и симметрический тензор с нулевым следом.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
проекта 01-01-00766).
◦ 1
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N◦
1
Величина a является скаляром: при поворотах системы координат она не меняется.
Три ненулевых элемента кососимметрического тензора преобразуются как трехмерный
вектор. Матрицу из элементов пятимерного линейного пространства симметрических тензоров
второго ранга с нулевым следом удобно записать в виде
a−2
+a0
−1/√6 0
0 2/√6 0
0
−1/√2 0 0
0
0 −1/√6
0 0 −1/√2
0 0 0
+a1
+a−1
0 0
1/√2 0 0
0
0 0 1/√2
0 1/√2 0
0
+a2
0 1/√2 0
0 0
+
1/√2 0 0
0 0 0
0 0 −1/√2
.
При вращениях вектор (a−2, a−1, a0, a1, a2)т, составленный из коэффициентов aj, преобразуется
по пятимерному неприводимому ортогональному представлению группы вращений.
Все изучаемые в данной работе законы сохранения приводятся к симметрическим,
гиперболическим по Фридрихсу, уравнениям. В таких законах сохранения не учитываются
диссипативные члены — вязкое трение и диффузия. Для их учета законы сохранения
необходимо модифицировать. Здесь приводится лишь один пример такой модификации, в
котором дается схема моделирования тепловой релаксации в многотемпературной среде.
Во всех доступных авторам настоящей работы изложениях теории представлений
группы вращений [17–22] приводятся лишь комплексные матричные элементы унитарных
представлений этой группы, в то время как приложения к задачам классической механики
должны основываться на вещественных матрицах ортогональных представлений,
матричные элементы которых приведены в п. 3. Для расчета этих элементов проведены
элементарные, но достаточно громоздкие вычисления, по существу, повторяющие схему,
используемую в теории унитарных представлений (см. [23]).
По мнению авторов, данное исследование представляет интерес как для математиков,
так и для специалистов прикладных направлений, а предлагаемая в работе схема может
быть обобщена на более сложные уравнения и уравнения релятивистской теории, в которой
термодинамически согласованные законы сохранения также широко применяются.
1. Описание “простейшей” системы и ее предварительное изучение. Целью
данной работы является описание некоторой формальной общей схемы, в которую
укладывается много известных галилеево-инвариантных систем дифференциальных уравнений
феноменологической математической физики, содержащих как законы сохранения
массы, импульса, энергии, так и закон возрастания (или сохранения) энтропии. При записи
каждой такой системы используется определяющий “термодинамический потенциал” L,
возникающий в результате систематизации различных термодинамических потенциалов,
появляющихся в конкретных физических задачах, а роль искомых функций играют переменные
q0,u1,u2,u3, q1, q2, . . . ,T, от которых этот потенциал зависит:
L = L(q0,u1,u2,u3, q1, q2, . . . ,T).
Следует отметить, что в число таких “термодинамических” переменных в данной работе
включены и компоненты u1, u2, u3 вектора скорости u = u(x1, x2, x3, t), с которой перемещаются
точки сплошной среды. Переменная T — температура среды, плотность которой
характеризуется величиной Lq0 = Lq0(q0,u1,u2,u3, q1, q2, . . . ,T), сопряженной с переменной
q0 при помощи потенциала L.
Задавшись потенциалом L, можно выписать некоторую стандартную простейшую систему
уравнений, свойства которой ниже детально исследуются. При этом указывается,
какие уравнения системы описывают законы сохранения, при каком условии (на термодинамический
потенциал) системы галилеево-инвариантны и обеспечивают корректность
Стр.2
С. К. Годунов, В. М. Гордиенко
5
(локальную) постановки задачи Коши. В конце пункта даны возможные обобщения, когда
в уравнения включаются описываемые производными второго порядка силы вязкости,
диффузии и т. п. Приступим к первоначальному анализу такой “простейшей” системы.
Инвариантность уравнений, выбранных в качестве “простейших”, при переходе в систему
координат, движущуюся относительно первоначальной с постоянной скоростью, входит
в число вопросов, обсуждаемых в настоящем пункте, тогда как инвариантность относительно
вращений рассматривается в п. 2.
В качестве “простейших” выберем системы уравнений следующего вида:
∂Lq0
∂t + ∂(ukL)q0
∂xk
∂Lui
∂t + ∂(ukL)ui
∂xk
∂Lqγ
∂t + ∂(ukL)qγ
∂xk
∂LT
∂t + ∂(ukL)T
∂xk
= 0;
= 0;
= −ϕγ;
= qγϕγ
T .
(1.1а)
(1.1б)
(1.1в)
(1.1г)
(По повторяющимся индексам k, γ проводится суммирование.) Дивергентными уравнениями
(1.1a), (1.1б) моделируются законы сохранения массы и импульса. Переменными qγ
описывается внутреннее состояние среды, например содержание в ней различных химических
веществ, а правыми частями ϕγ моделируются скорости изменения параметров qγ,
например скорости реакций. Величина LT является энтропией на единицу объема. Согласно
закону возрастания энтропии необходимо, чтобы правые части ϕγ подчинялись
неравенству qγϕγ 0 (предполагается, что T > 0).
Предполагая неизвестные функции q0, uk, qγ, T достаточно гладкими по координатам
и времени, из приведенных уравнений (1.1) как следствие можно получить еще одно, совместное
с ними уравнение. Для этого равенство (1.1а) умножим на q0, равенства (1.1б) —
на ui, (1.1в) и (1.1г) — на qγ, T соответственно и используем тождества
q0 dLq0 +ui dLui +qγ dLqγ +T dLT = dE,
q0 d(ukLq0)+ui d(ukL)ui +qγ d(ukL)qγ +T d(ukL)T = d[uk(E +L)],
где E = q0Lq0 +uiLui +qγLqγ +TLT −L — преобразование Лежандра потенциала L.
Линейная комбинация уравнений (1.1) с выбранными коэффициентами с помощью
тождеств (1.2) может быть преобразована в равенство дивергентного вида
= 0.
∂E
∂t + ∂[uk(E +L)]
∂xk
(1.3)
В прикладных задачах это равенство описывает закон сохранения энергии. Отметим, что
нулевая правая часть здесь получена за счет согласованного выбора правых частей −ϕγ,
qγϕγ/T в уравнениях (1.1в), (1.1г).
Если термодинамический потенциал L является выпуклой функцией своих аргументов,
то (1.1) будет симметрической, гиперболической по Фридрихсу, системой уравнений,
что обеспечивает при гладких начальных данных корректную (локальную) разрешимость
задачи Коши. Действительно, обозначая через ri неизвестные q0,u1,u2,u3, q1, q2, . . . ,T, а
через M(k) — произведения M(k) = ukL, систему (1.1)
∂Lri
∂t + ∂M(k)
ri
∂xk
= −ψi
(1.2)
Стр.3