Локальные методы анализа динамических систем (190,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов Локальные методы анализа динамических систем Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика Ярославль 2006

Стр.1

УДК 517.925+517.928 ББК В162я73 Г 52 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2006 года Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов; кафедра математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов; Г 52 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 92 с. ISBN 5-8397-0509-8 (978-5-8397-0509-8) Изложена теория нормальных форм в приложении к динамичеза динамических систем“ (блок ДС) предназначено студентам специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения. Рис. 21. Библиогр.: 32 назв. Табл. 4 ским системам с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. Приводится эффективный алгоритм вычисления коэффициентов нормальной формы. Учебное пособие по дисциплине ”Численные методы аналиУДК 517.925+517.928 ББК В161.61.я73 ISBN 5-8397-0509-8 (978-5-8397-0509-8)  Ярославский c государственный университет им. П.Г. Демидова, 2006  Глызин С.Д., Колесов А.Ю., 2006 c

Стр.2

Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Алгоритмы нормализации систем ОДУ 7 1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Нормализация Пуанкаре-Дюлака . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Теорема о центральном многообразии . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Структура нормальной формы в простейших случаях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Транскритическая и вилообразная бифуркации . . . . 15 1.5.2 Бифуркация Андронова-Хопфа . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Обзор бифуркаций коразмерности два . . . . . . . . . . 22 1.6 Резонанс 1:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1 Динамические свойства нормальной формы . . . . . . . 29 1.6.2 Обоснование некоторых результатов . . . . . . . . . . . 35 1.7 Резонанс 1:2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7.1 Нормальная форма в случае малости квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.2 Нормальная форма в случае, если квадратичная нелинейность зависит от √ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.3 Нормальная форма в случае произвольной квадратичной нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Алгоритмы нормализации отображений 45 2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Нормализация отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Отображение, моделирующего динамику взаимодействия трех автогенераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2 Нормальная форма отображения . . . . . . . . . . . . . 47 3

Стр.3

4 ОГЛАВЛЕНИЕ 2.3.3 Динамические свойства нормальной формы отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Нормализация дифференциально-разностных уравнений 59 3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Алгоритмы построения нормальной формы дифференциальных уравнений с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.1 Описание основного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.2 Локальный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Резонанс 1:2 в уравнении второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Стр.4

Введение В конце 19 – начале 20 века А.Пуанкаре поставил задачу качественного анализа дифференциальных уравнений. Успехи современных математических теорий, касающихся исследования поведения нелинейных динамических систем, так или иначе связаны с решением именно этой задачи. В ряду инструментов, разработанных для качественного анализа систем нелинейных дифференциальных уравнений, важное место занимает метод нормальных форм. Идея метода была высказана Пуанкаре в его диссертации и состояла в нахождении такого класса автономных динамических систем, которые можно было бы с помощью специальных замен свести к линейным. На этом пути было введено понятие резонансности собственных чисел матрицы линейной части системы и доказано, что в случае отсутствия таких резонансов сведение возможно. Позднее Дюлак выполнил обобщение этого результата на резонансный случай и показал, что в этой ситуации простейшим видом преобразованной системы является выражение, содержащее в правой части, наряду с линейными слагаемыми, еще и не уничтожаемые заменами резонансные члены. Такую систему называют нормальной формой, и ее построение позволяет успешно проанализировать локальную динамику изучаемой системы. Однако по-настоящему действенным метод нормальных форм стал после работ, принадлежащих Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову и Ю.А. Митропольскому [1–3], в которых разрабатывались асимптотические методы нелинейных колебаний. Нормализация динамической системы на устойчивом интегральном многообразии позволяет выделить систему малой размерности, отвечающую за локальные свойства исходной системы. В настоящее время методу нормальных форм посвящено большое число различных исследований, сошлемся здесь лишь на самые, на наш взгляд, заметные, вышедшие в последние годы [4–11]. Сказанное делает актуальным разработку по возможности более экономного алгоритма построения нормальной формы. Заметим, что наиболее интересные выводы о качественном поведении получаются при изменении 5

Стр.5

6 Введение параметров динамической системы в окрестности критических значений, в этом случае величина надкритичности служит естественным малым параметром, по которому удобно строить асимптотические формулы устойчивых решений изучаемой задачи. В то же время нормальная форма строится именно при критических значениях параметров, поэтому впоследствии возникает задача такого масштабирования возмущенной нормальной формы, чтобы полученная системы могла быть удобно проанализирована, например, численными методами. В пособии предлагается алгоритм, в ходе выполнения которого укороченная нормальная форма возникает из условий разрешимости для одного из очередных слагаемых нормирующей замены, при этом она уже оказывается подходящим образом масштабированной по входящим переменным.

Стр.6