Естественные и технические науки, № 4, 2011
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Яндаров В.О., кандидат физикоматематических
наук, профессор, советник
ректора Грозненского государственного
нефтяного технического
университета им. академика М.Д. Миллионщикова
К
ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНО, КВАЗИРЕГУЛЯРНО ЗАМКНУТЫХ
И НЕТОТАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В статье рассматриваются и доказываются теоремы, относящиеся к проблемам банаховых
пространств.
Ключевые слова: банахово пространство, подпространство, сопряженность.
AN THE THEORY OF REGULARITY, KWASI-REGULARITY
AND TOTALITY SUBSPACES OF CONJUGATE SPACES
This article describes and proves new theorems related to solving the problem of banach spaces.
Keywords: banach space, subspace, conjugate.
Как обычно (см., например, [1, 2]), под Х1 и Х понимаются бесконечномерные банаховы
пространства над одним и тем же числовым полем, скажем, над полем R=(-∞, +∞). Через
Wx(X1) обозначается относительное пополнение Х1 относительно Х, если Х1 слабо компактно
и плотно вложено в Х [1, 2]. Если Х1∈Е(Х), т.е. Х1 слабо компактно и плотно вложено в
Х, то через Z* обозначается замыкание Х*, сопряженного к Х, в пространстве Х1
вается регулярно замкнутым в Х1
((*) – замкнутого или слабо* замкнутого): подпространство L в Х1
*, если для любого элемента х*∈Х1
элемент х0∈Х1, что выполняются равенства
х*(х0)=1, z*(х0)=0 ∀z*∈L
называется квазирегулярно замкнутым в пространстве Х1
х*∈Х1
Подпространство Y⊂Х1
20
Автор данной статьи ввел следующее понятие: пусть Х1∈Е(Х). Подпространство L⊂Х1
*, если для любого элемента
*\L существует такой элемент х0∈Wx(X1), что имеют место равенства (1).
С помощью понятий регулярно и квазирегулярно замкнутых подпространств были исследованы
важные свойства банаховых пространств и сопряженных к ним (см., например,
[4–7]).
* называется на Х1 тотальным [1; 4–7], если из того, что для
х∈Х1 выполняется равенство х(у)=0 ∀у∈Y, вытекает, что х – нуль-элемент в Х1. Отсюда
*
ном к Х1. Пространство Z* не всегда является сопряженным к некоторому замкнутому подпространству
Y⊂Х1.
С. Банах (см., например, [3, 4]) ввел понятие регулярно замкнутого подпространства
*, сопряженном к Х1, назы*\L
существует такой
*, сопряжен
Стр.1
ционал, определенный на Х1
у∈Х1 такой, что у(х*)=0 ∀х*∈Y.
Из второго равенства в (1) вытекает, что подпространство L можно считать подмножест*
элемента х0∈Х1, рассматриваемого как линейный непрерывный функ*:L⊂Kerх0⊂Х1
ясно,
что подпространство Y⊂Х1
вом в ядре Kerх0⊂Х1
Естественные и технические науки, № 4, 2011
* не тотально на Х1, если существует ненулевой элемент
элемент х*, удовлетворяющий равенству х*(х0)=1, не принадлежит Kerх0. Если речь идет о
квазирегулярно замкнутом подпространстве L /в этом случае во втором равенстве (1)
х0∈Wx(X1); предполагается, что х0 – линейный непрерывный функционал на Х1
*. Кроме того, в силу первого равенства в (1)
*, хотя бы
применяя теорему Хану–Банаха (см., например, [3, 8–10])/, то замечание, сделанное выше
относительно регулярно замкнутого подпространства L, можно сделать и относительно квазирегулярно
замкнутого подпространства, т. е. регулярно или квазирегулярно замкнутое
подпространство Y⊂Х1
гулярно замкнутого гиперподпространства-ядра в Х1
но) замкнутым в Х1
Y1⊂Х1
такой, что х*(х0)=1, х0(Y)=0. Из второго равенства вытекает, что подпространство Y⊂Х1
*:Y=Kerх0 (х0∈Х1, где Х1 естественно
нуто в Х1
*, содержащее Y и такое, что Y1 регулярно (квазирегулярно) замкнуто в Х1
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть подпространство Y⊂Х1
*, т. е. замкнуто в топологии σ(Х1
*, Х1) [8]: ∀х*∈Х1
можно считать гиперподпространством-ядром в Х1
вложено в Х1
пространством в Х1
вложено в Х1
существование такого числа λ, что х**=λх0, т. е. х**∈Х1. Следовательно, Y – регулярно замкнуто
вместе с любым подпространством в Х1
мент х**∈Х1
сматривается и для квазирегулярных подпространств в Х1
регулярно замкнуто в Х1
что для любого у∈Y выполняются равенства
х*(х0)=1, х0(у)=0
Из второго равенства следует, что Y⊂Х1
* не тотально на Х1.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть собственное замкнутое подпространство Y⊂Х1
но на Х1: существует ненулевой элемент х0∈Х1 такой, что х0(Y)=0. Ясно, что Kerх0⊂Х1
* не тотально на Х1. Тогда по теореме 2 в [6] ядро Kerх0⊂Х1
* не тоталь*
содержит
подпространство Y: Kerх0⊃ Y. Тогда Kerх0 не тотально на Х1. Если бы это было не
так, т. е. если бы Kerх0 было бы тотально на Х1, то элемент х0 был бы нуль-элементом в Х1,
что противоречит предположению о том, что х0 – ненулевой элемент в Х1. Следовательно,
Kerх0⊂Х1
* регулярно замкнуто.
Очевидно, тогда регулярно замкнуто на Х1 любое замкнутое подпространство Y⊂Kerх0.
Теорема 2 доказана.
Т е о р е м а 3. Пусть Х1∈Е(Х). Для того чтобы собственное замкнутое подпространст*
было квазирегулярно замкнуто в Х1
во Y⊂Х1
тотально на Wх(Х1).
21
*, необходимо и достаточно, чтобы Y было не
*. Теорема 1 доказана.
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Если Y⊂Х1
определению этой замкнутости для ∀х*∈Х1
Т е о р е м а 2. Для того чтобы собственное замкнутое подпространство Y⊂Х1
*, необходимо и достаточно, чтобы Y было не тотально на Х1.
* регулярно замкнуто в Х1
* можно рассматривать как подпространство регулярно или квазире*,
содержащего Y. Имеет место следующая
теорема.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы подпространство Y⊂Х1
*, необходимо и достаточно, чтобы существовало гиперподпространство
*.
* было регулярно (квазирегуляр*\Y
существует элемент х0∈Х1
*
* регулярно замкД
о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Kerх0=Y– ядро ненулевого элемента х0∈Х1 (Х1 естественно
**). Тогда по теореме Хана–Банаха [3, 8–10]) для любого х*∈Х1
**, второе сопряженное к Х1). Тогда Kerх0 является регулярно замкнутым под*.
**
такой, что х**(х*)=1, х**(Y)=0. Так как Y=Kerх0, то из равенства х**(Y)=0 вытекает
*, содержащимся в Kerх0. Теорема 1 аналогично рас*
было
*, то по
*\Y существует эле*\Y
существует ненулевой элемент х0∈Х1 такой,
Стр.2
Естественные и технические науки, № 4, 2011
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. По определению квазирегулярного подпространх*(х0)=1,
х0(Y)=0. Из второго равенства следует, что Y не тотально на Wх(Х1).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть замкнутое подпространство Y⊂Х1
ства Y⊂Х1
* для любого х*∈Х1
*. Теорема 3 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
*\Y существует ненулевой элемент х0∈Wх(Х1) такой, что:
* не тотально на Wх(Х1).
Обозначим через Kerх0 гиперподпространство – ядро элемента х0∈Wх(Х1) в Х1
что Kerх0⊃ Y. Ясно, что если Y не тотально на Wх(Х1), то Y квазирегулярно замкнуто в Х1
как подпространство в Kerх0⊂Х1
*. Очевидно,
*
1. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. – М.:
Наука, 1978. С. 400.
2. Яндаров В.О. Пространства Розенталя и линейные непрерывные операторы. – М.: Компания
Спутник+, 2007. С. 95.
3. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1962. С. 859.
4. Яндаров В.О. Решение одной проблемы С. Банаха// Вестник Академии наук ЧР. – Грозный,
1994, вып. 1. С. 24–39.
5. Яндаров В.О. Сопряженность, рефлексивность и квазирегулярность банаховых пространств//
Актуальные проблемы современной науки. – 2008, № 1. С. 107–122.
6. Яндаров В.О. Регулярность, нетотальность и рефлексивность в банаховых пространствах.
Проблема С. Банаха// Естественные и технические науки. – 2010, № 5. С. 26–35.
7. Яндаров В.О. Некоторые свойства банаховых пространств и их связь. Проблема
С. Банаха// Труды Грозн. нефт. ин-та им. акад. М.Д. Миллионщикова. – Грозный, 2009,
вып. 9. С. 72–86.
8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1959.
С. 410.
9. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2001. С. 382.
10. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. С. 496.
22
Стр.3