Высшая математика. Краткий курс (770,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

А.Р. Лакерник ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА КРАТКИЙКУРС Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов «Телекоммуникации» Москва  Логос  2011 2008

Стр.3

УДК 51 (075.8) ББК 22.1ÿ.73 Ë19 Серия основана в 2003 году Р е ц е н з е н т ы Л.М. Баскин, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий им. профессора М.А. Бонч-Бруевича В.Г. Данилов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Московского технического университета связи и информатики Лакерник А.Р. Л19 Высшая математика. Краткий курс: учеб. пособие / А.Р. Лакерник. – Ì.: Ëîãîñ, 2011. – 528 ñ. – (Íîâàÿ университетская áèáëèîòåêà). ISBN 978-5-98704-523-7 íèê. – Ì.: Ëîãîñ, 2008. – 528 ñ. – (Íîâàÿ университетская áèáëèîòåêà). В полном объеме изложен курс математического анализа и высшей математики, изучаемый в вузах по направлениям (специальностям) техники и технологии, включая теорию пределов, непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теорию функций комплексного переменного и операционное исчисление. Изложение построено по модульному принципу, позволяющему варьировать объем и сложность освещения отдельных разделов с учетом задач подготовки специалистов и уровня знаний студентов. Методической основой учебного пособия является многолетний опыт преподавания математики в Московском техническом университете связи и информатики. Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению «Телекоммуникации». Может использоваться при подготовке кадров по широкому кругу направлений и специальностей в области техники и технологии, естественных наук и прикладной математики. УДК 51 (075.8) ББК 22.1ÿ.73 ISBN 978-5-98704-523-7 © Лакерник À.Ð., 2011 © Ëîãîñ, 2011 © Лакерник À.Ð., 2008 © Ëîãîñ, 2008

Стр.4

ОГЛАВЛЕНИЕ Ïðåäèñëîâèå................................................................................................. 11 Условные обозначения ............................................................................... 12 I. ТЕОРИЯ ÏÐÅÄÅËÎÂ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ÔÓÍÊÖÈÉ................. 13 1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ .................................... 13 1.1. Определение действительного числа ............................................. 13 1.2. Ограниченные множества действительных ÷èñåë........................ 16 1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона ................................ 18 1.4. Функции ............................................................................................ 20 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ....... 21 2.1. Определение предела последовательности и предела ôóíêöèè..................................................................................... 21 2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и их свойства .............................................................................................. 27 2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми. Основные теоремы о пределах ............................................................. 30 2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и функций ................................................................................................... 34 2.5. Некоторые замечательные пределы .............................................. 38 2.6. Сравнение бесконечно ìàëûõ........................................................ 43 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ÔÓÍÊÖÈÈ.......................................................... 43 3.1. Непрерывность функции в точке ................................................... 43 3.2. Классификация точек разрыва ....................................................... 47 3.3. Непрерывность функции на множестве ........................................ 49 3.4. Равномерная непрерывность функции ......................................... 52 II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ..................................................... 55 4. ПРОИЗВОДНАЯ ..................................................................................... 55 4.1. Определение, физический и геометрический смысл производной ............................................................................................ 55 4.2. Вычисление производной ôóíêöèè................................................ 57 4.3. Дифференцируемые ôóíêöèè. Дифференциал ............................. 64 4.4. Производные и дифференциалы высших ïîðÿäêîâ...................... 68 4.5. Ôóíêöèè, заданные параметрически, и их производные ............. 71 5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ .......................................................................................... 74 5.1. Теоремы о среднем .......................................................................... 74 5

Стр.6

5.2. Правило Лопиталя ........................................................................... 78 5.3. Формула Òåéëîðà............................................................................. 86 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................ 98 6.1. Возрастание и убывание функций .................................................. 98 6.2. Экстремумы функции .................................................................... 100 6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке ...................................................................... 106 6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба ..................................................................................... 107 6.5. Асимптоты графика функции ....................................................... 111 6.6. Примерная схема общего исследования функции и построения ее ãðàôèêà...................................................................... 114 7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА .............. 117 7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента ......... 117 7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента ................... 119 7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента .... 121 7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента ......... 121 III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ................................................... 126 8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ÔÓÍÊÖÈÈ......................................................... 126 8.1. Комплексные ÷èñëà....................................................................... 126 8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ..................... 129 8.3. Показательная форма комплексного числа ............................... 130 8.4. Многочлены ................................................................................... 131 8.5. Рациональные функции ................................................................ 136 9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................... 142 9.1. Понятие неопределенного интеграла ......................................... 142 9.2. Свойства неопределенного интеграла ......................................... 143 9.3. Таблица основных интегралов ..................................................... 144 9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле ..................... 148 9.5. Интегрирование по частям ........................................................... 150 9.6. Интегрирование рациональных дробей ...................................... 153 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных ôóíêöèé............ 156 9.8. Интегрирование тригонометрических функций ........................ 159 9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений при помощи тригонометрических подстановок ............................... 162 10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................................................ 165 10.1. Понятие определенного èíòåãðàëà............................................ 165 6 10.2. Свойства определенного интеграла ........................................... 167 10.3. Существование определенного интеграла ................................ 170 10.4. Вычисление определенного интеграла ...................................... 173 10.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле .................................................................. 175 10.6. Вычисление площадей плоских фигур ....................................... 177 10.7. Длина дуги плоской êðèâîé......................................................... 182 10.8. Вычисление объемов òåë............................................................. 185 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ÈÍÒÅÃÐÀËÛ................................................... 188 11.1. Определение несобственного интеграла ................................... 188 11.2. Геометрический смысл, свойства и вычисление несобственных интегралов ......................................... 189 11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций ...... 192 11.4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака ............................................................................ 195 11.5. Главное значение несобственного интеграла ........................... 200 IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ................................. 201 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................ 201 12.1. Многомерные пространства ....................................................... 201 12.2. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных ...................................................................... 204 12.3. Частные производные. Дифференциал функции ...................... 207 12.4. Производные сложной функции ................................................ 213 12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков ... 220 12.6. Формула Тейлора для функции нескольких ïåðåìåííûõ........ 226 12.7. Экстремумы функции нескольких переменных ....................... 230 12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ................... 237 12.9. Производная по направлению. Ãðàäèåíò................................... 240 13. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ............................. 244 13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра .................. 244 13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .............. 246 13.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра ...................................................................... 248 13.4. Гамма-функция ............................................................................ 252 V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ÓÐÀÂÍÅÍÈß.......................................... 258 14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА .... 258 14.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям ........................................................................................... 258 7

Стр.7

14.2. Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядков .............................................................................. 260 14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений .............................................. 262 14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков ................... 277 14.5. Уравнения, допускающие понижение ïîðÿäêà......................... 280 15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ........................................................................... 283 15.1. Линейные однородные дифференциальные óðàâíåíèÿ........... 283 15.2. Линейная зависимость и независимость ôóíêöèé.................... 284 15.3. Структура общего решения линейного однородного óðàâíåíèÿ....................................................................... 288 15.4. Линейные однородные уравнения с постоянными êîýôôèöèåíòàìè....................................................... 290 15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков .......... 298 15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида ..................... 300 15.7. Метод вариации произвольных постоянных ............................. 307 VI. ÐßÄÛ................................................................................................... 311 16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................................. 311 16.1. Свойства сходящихся рядов ........................................................ 311 16.2. Ряды с неотрицательными членами .......................................... 314 16.3. Ряды с членами произвольного знака ........................................ 320 17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ÐßÄÛ........................................................... 325 17.1. Область сходимости функционального ряда ............................ 325 17.2. Равномерная сходимость функционального ряда .................... 326 17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов .................................. 328 17.4. Степенные ðÿäû. Область сходимости степенного ряда ......... 332 17.5. Равномерная сходимость степенного ряда ............................... 336 17.6. Разложение функций в степенные ряды .................................... 340 17.7. Применение разложений в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений .................................... 347 18. РЯДЫ ÔÓÐÜÅ....................................................................................... 354 18.1. Ортогональные и ортонормированные системы ôóíêöèé................................................................................................. 354 18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2π ................................................................. 356 18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2l. Ряд Фурье в комплексной ôîðìå..... 363 8 18.4. Средняя квадратичная погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье ......................................................... 366 18.5. Интеграл Ôóðüå............................................................................ 368 VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ÏÎËß........................................................................................ 375 19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .................................................................. 375 19.1. Определение и свойства двойного интеграла ............................ 375 19.2. Вычисление двойного интеграла ................................................ 380 19.3. Определение и свойства тройного интеграла ............................ 385 19.4. Вычисление тройного èíòåãðàëà................................................ 388 19.5. Замена переменных в двойном èíòåãðàëå................................. 392 19.6. Двойной интеграл в полярных координатах ............................. 396 19.7. Замена переменных в тройном интеграле ................................ 399 20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ÈÍÒÅÃÐÀËÛ................................................. 404 20.1. Криволинейный интеграл первого рода .................................... 404 20.2. Криволинейный интеграл второго рода .................................... 406 20.3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования ................................... 412 21. ТЕОРИЯ ÏÎËß.................................................................................... 417 21.1. Скалярное ïîëå. Производная по направлению. Градиент ..... 417 21.2. Векторное поле. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля вдоль êðèâîé.................................... 419 21.3. Поверхностный интеграл первого и второго ðîäà.................... 421 21.4. Формула Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî................................................ 428 21.5. Формулы Грина и Стокса ............................................................ 432 21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка .................. 440 21.7. Специальные векторные поля .................................................... 442 VIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ.................... 446 22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ....................................................................................... 446 22.1. Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного ................................................................ 446 22.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного ......................................................................................... 450 22.3. Производная функции комплексного переменного ................ 454 22.4. Интеграл от функции комплексного ïåðåìåííîãî.................. 457 22.5. Интегральная теорема Коши ..................................................... 463 22.6. Интегральная формула Коши .................................................... 466 22.7. Краткие сведения о рядах с комплексными членами .............. 473 9

Стр.8

22.8. Ряд Òåéëîðà................................................................................... 475 22.9. Ряд Лорана .................................................................................... 478 22.10. Классификация изолированных особых точек ....................... 485 22.11. Вычеты и их нахождение ........................................................... 489 22.12. Основная теорема о âû÷åòàõ..................................................... 492 22.13. Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного ....................................... 494 23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß........................... 501 23.1. Оригинал и его èçîáðàæåíèå....................................................... 501 23.2. Свойства преобразования Ëàïëàñà............................................. 506 23.3. Нахождение оригиналов по èçîáðàæåíèÿì............................... 514 23.4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным ìåòîäîì....................................................... 518 23.5. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений различных ôóíêöèé.......................... 521 ПРЕДИСЛОВИЕ Данный курс основан на лекциях, читаемых автором студентам Московского технического университета связи и информатики. Зачем нужен такой курс? Ведь его материал содержится во многих других учебниках. Дело в том, что автор поставил себе цель кратко, но вместе с тем максимально строго изложить такие сложные основополагающие разделы, как предел последовательности и функции, непрерывность функции, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, функции нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теория поля, элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление. В учебниках для технических вузов этот материал либо дается излишне упрощенно, без части сведений и доказательств, а это противоречит самой сути математики как предмета, либо занимает очень большой объем, что отпугивает основную массу студентов. Если исходить только из лекций, то студентам трудно воспринимать упомянутый материал без наличия соответствующей учебной литературы в силу сложности тем и наличия только небольшого времени для их изложения. Почти все теоремы в курсе приводятся с доказательствами. В первой главе теоремы о пределах последовательностей и функций изложены параллельно, что, по мнению автора, способствует лучшему пониманию материала. Даются необходимые предварительные сведения: аксиоматика действительных чисел, метод математической индукции, элементы комбинаторики, бином Ньютона. Весь материал соответствует примерно 140 часам лекционного времени. 10 11

Стр.9