промежутках, а в промежутках (−∞; 1)− и (−1;0) данная функция убывает,
т.к. y′ () 0
′ xy
.
7. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость и на наличие
точек
перегиба
выпуклой в интервале a b, (), если
y f x=
точке M x y);
(
Рис. 3
она лежит ниже касательной, проведенной
к этой кривой в любой ее
, абсцисса которой
удовлетворяет условиям a x b<<
(рис.3).
вогнутой в интервале a b, (), если она
лежит
Кривая y f x=
выше
которой удовлетворяет условиям
a x b<<
точке M x y);
(рис.4).
(
аргумента
интервале
значениях
Рис.4
.
вале a b, (), если при всех значениях аргумента x этого интервала производная
второго порядка f ′′ ( ) 0>x
Кривая y f ( )x=
порядка f ′′ ( ) 0
Стр.34
9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
степенным рядом:
ряда.
Ряд, члены которого являются степенными функциями, называется
n
Числа c c c ,...,cn ,... называются коэффициентами степенного
Область сходимости степенного ряда
c0 + + 2
0, , 21
значений x, при которых степенной ряд сходится.
Например, для ряда
x x
2
...
Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех
1+ + + + +nx
..., у которого
x = < 1q , область сходимости (−1;1), т.к. его можно рассматривать как
сходящийся геометрический ряд со знаменателем q x= .
x = x
Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении
0 0≠
всех значениях x таких, что x x< . 2) Если степенной ряд расходится
при x x= , то он расходится при всех значениях x таких, что x > .x 1
1
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что при
x R< ряд сходится, а при x R> ряд расходится. Это число называется
радиусом сходимости, а интервал
Можно показать 1,стр.381], что
[
R = lim
(− RR;
cn
n→∞ +1
cn
а у некоторых рядов во всю ось Ох ( ∞=R ).
Пример. Найти область сходимости степенного ряда
Решение
n=1 ()
∑ +
∞
n n
x
n
1 1 2 2 3 3 4 ... () ...1
3
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + +
x
x
x
63
2
n n
x
n
+ +
У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку R = 0,
n
n
∑ ()
∞
=1
n n
x
+1
.
)− интервалом сходимости.
()
9.2 .
(отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при
0
c1x c x + c x
2
3
3 ...+ + cnx +...
()
9.1
Стр.65
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
1. Вычислите пределы функций; п. г) вычислите, воспользовавшись правилом
Лопиталя:
1.1
а) lim
в)
x→
x→∞ 2x +1 ;
2
x
2− x+3 4
lim si 3 ;n
0
x
x
1.2
а)
в)
lim 13x
x→∞ 3x +7 ;
x −
4
3
б)
lim 8 ;
0
x→
1.3
а)
в)
tg x
x
lim 3x
x→∞ 5x
4
x→0
si 3n
lim si 5n
1.4
а)
lim2x
x→∞4x
x→0
2
2
− +
−
4
x
x
3 8
;
x
9
2
+ −
− +
в) lim(sin 4 )
16x
x
2
7 9 ;
2
3 5
x
x
;
;
б) lim 8x
1 2
x→ x
x→−1
+ −
+ −
x
x +
2 3 ;31
г) lim sin( 1) .13
x +
lim 2
2
x→32x
x→1
x x 12
x
− +
+ −
г)lim sin( 2
x
ex
г) lim sin 2 .1
x→ x
ex
−
x→0
б)
lim 2
2
x→ x
4
г) lim
x −1
2
x→1 3ln x
2 .
x
x x
− −
+ −
x
2 8
20
;
б) lim 5 1 2
1 2
+ −
− −
2 3
x
x −1) .
9 9 ;
−e
;
70
Стр.72
6. Вычислите интегралы:
6.1
а)
∫ x e dxx
1
0
6.2
а)
∫ x
3
4
6.3
а) ∫
6.4
а)
4
1
∫
3
1
2
1
(3 4) ln xdx;
x −
x xdxln
6.5
а) ∫ −
(x
6.6
а) ∫ −4
0
(1
6.7
а)
6.8
81
e ln x
∫
2
1
x
2 dx;
x2)cos2xdx
; б) ∫
2
4
sin
cos
б) ∫
7
0 3
xdx ;
x
2
(8 )2x
dx
−
в) ∫ x
3
3
x −
2
+ −
1
x
2
1
dx.
2
б) ∫
3
0
;
б)
cos4
sin
2 2
3x) ln xdx; б) ∫
3
0
16
2
xdx ;
2
+ x
xdx ;
x
∫ x x −
4
2 7dx;
в) ∫
x
в)
2
3 4
6 1
+ −
+
x
x
x x
∫ x
2
в)
∫ x x
−
5
x
3
+ −
−
1
+ −
4
4
;
б) ∫
1
0
(x +1)2
2
sin2 xdx;
б) ∫ −
2
xdx ;
(1 cos )
sin
xdx ;
x 2
в) ∫ x
3
x − x dx.
3
+ −
4
x
в) ∫ x
x
2
2
3 − − 2xdx
2 + − 4
2
x
x
10
dx.
6
dx.
x dx.
8
в) ∫
x
2
3 4
3 2
+ −
+
x
x
dx.
π
π
π
π
π
π
π
π
Стр.83
Отпечатано редакционно-издательским отделом
ГОУ ВПО КемГМА Росздрава c готового оригинал-макета
650029, Кемерово,
ул. Ворошилова, 22а.
Тел./факс. +7(3842)734856;
epd@kemsma.ru
Подписано в печать 08.06.2007.
Гарнитура таймс. Тираж 100 экз.
Формат 21×30/2. У.п.л. 5,1.
Печать трафаретная
Требования к авторам см. на http://www.kemsma.ru/rio/forauth.shtml
Лицензия ЛР №21244 от 22.09.97
88
Стр.90
Кемеровская государственная
медицинская академия
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
III
Теория вероятностей
Математическая статистика
Кемерово - 2006
Стр.1
ГОУ ВПО «Кемеровская государственная медицинская академия
Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
III
Под редакцией доц. В.И. Бухтояровой
Теория вероятностей
Математическая статистика
Методические указания и задания контрольной работы №3
для студентов II курса заочного отделения факультета
«Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)»
Кемерово - 2006
Стр.3
УДК 51(075)-057.875
Высшая математика. Часть III. Теория вероятностей. Математическая
статистика / Под ред. к.ф.-м.н. доц. В.И. Бухтояровой // Кемерово, 2006. –
82 с.
Методические указания и контрольные задания для студентов II курса
заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии
(здравоохранение)».
Составители: В.И. Бухтоярова, В.М. Гущина, С.Р. Песчанская, Л.К. Равинг
© Кемеровская государственная медицинская академия, 2006
2
Стр.4
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Содержание учебной программы
Литература
Вопросы для подготовки к зачету
Общие методические указания
Правила оформления контрольной работы
Краткие теоретические сведения и примеры решения задач
4
5
6
6
7
9
9
Контрольная работа №3 60
Приложения
73
3
Стр.5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс высшей математики для студентов заочного отделения
факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)»
ставит своей целью формирование у студентов базы знаний по высшей
математике, необходимой и достаточной для профессиональной Деятельности.
Необходимый уровень знаний задается государственным стандартом.
Достаточность базы знаний обеспечивается структурой преподавания,
направленной на освоение теоретического материала и практическое
применение полученных знаний для решения задач экономического
содержания.
Методические указания содержат необходимый теоретический минимум,
включающий важнейшие определения, теоремы и формулы для
решения заданий контрольной работы. На примерах подробно разбираются
решения типовых задач по двум фундаментальным разделам
контрольной работы:
1. теория вероятностей;
2. математическая статистика.
Методические указания и контрольные задания подготовлены на
основании коллективного опыта сотрудников кафедры медицинской и
биологической физики и высшей математики Кемеровской государственной
медицинской академии.
4
Стр.6
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
Теория вероятностей. Случайные события
определение
Случайные события. Понятие события и вероятности. Классическое
вероятности. Понятие равновозможности событий.
Терминология, свойства вероятности. Частота и вероятность. Статистическая
вероятность.
Маловероятные события. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события. Теорема умножения вероятностей
независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Независимость событий в совокупности. Теорема сложения вероятностей
совместных событий, ее варианты. Формула полной вероятности.
Последовательные испытания. Формула Бернулли, схема последовательных
независимых испытаний. Исследование и свойства формулы Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Применение
интегральной теоремы. Закон Пуассона. Простейший поток событий.
Случайные величины. Понятие случайной величины, ее функции расожидание
пределения.
Свойства функции распределения и ее график. Нормальное
распределение. Вероятность попасть в заданный интервал. Оценка отклонения
по вероятности. Правило “трех сигм”, практическое использование.
Плотность распределения, ее свойства.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое
дискретной
и
непрерывной
случайной
величины.
Математическое ожидание нормальной и равномерной случайных
величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства
математического ожидания Дисперсия дискретной и непрерывной
случайной величины. Теоремы о дисперсии Свойства дисперсии.
Нормальное распределение. Вероятность попасть в заданный
интервал. Оценка отклонения по вероятности. Правило “трех сигм”,
практическое использование. Моменты, начальные и центральные, их
связь.
Математическая статистика
Генеральная совокупность объектов. Выборка и способы ее
организации. Вариационный ряд. Эмпирическое распределение. Полигон и
гистограмма. Точечные оценки параметров распределения по выборке.
Понятие о доверительных интервалах для математического ожидания и
дисперсии. Выравнивание эмпирических распределений. Подбор теоретического
распределения. Дополнительные распределения, используемые
при статистической обработке. Обработка результатов прямых измерений
(оценка случайных погрешностей измерений).
Статистическая проверка гипотез.
Корреляционно-регрессионный анализ.
5
Стр.7
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Контрольную работу необходимо выполнять в тетради, оставляя поля (6
см) для замечаний рецензента.
2. На титульном листе указать наименование кафедры и дисциплины;
факультет, курс, номер группы; номер контрольной работы и варианта;
фамилию, имя, отчество без сокращений; номер зачетной книжки.
3. Условия заданий необходимо написать полностью, без сокращений.
4. Решения заданий необходимо сопровождать пояснениями. Расчеты
проводить, соблюдая правила приближенных вычислений.
5. При построении графиков функций соблюдать масштаб по осям
координат.
6. В конце контрольной работы указать используемую литературу (автор,
название, год издания).
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
нации элементов по m элементов в каждой, которые отличаются только
порядком элементов.
Перестановками mP из m различных элементов называют комбиPm
1 2 3... 1 mmm ( − ⋅
= ⋅
⋅
)
=
= !
произведения m последовательных целых чисел от 1 до m.
Пример: Число перестановок из трех элементов
Принимается (в качестве определения): 1! 1; 0! 1= ; m! () mm ⋅−=
Размещениями m
1 !
An из n различных элементов по m элементов в
каж-дом называют комбинации элементов, которые отличаются друг от
друга либо элементами, либо порядком элементов.
A n (n
m
n
A8 = ⋅
3 8 7 6 336
⋅ =
= −1 ⋅) (n− ) [
То есть число размещений m
2 ... n m−( −1)]
An равно произведению mпоследовательных
целых чисел, наибольшее из которых равно n.
Пример: Число размещений из 8 элементов по 3 в каждом
Символ !m (читается “эм факториал”) есть сокращенное обозначение
3 1 2 3 3! 6==
P ⋅= ⋅
9
Стр.11
3. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
которых вероятность появления события постоянна и равна p, а
испытание имеет только 2 исхода (событие A или противоположное
Теорема Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из
событие A), событие A наступит ровно m раз (безразлично в какой
последовательности) равна:
P m C p q −
n ( ) =
⋅
⋅
где n – мало; q– вероятность события A; q −=1
число сочетаний из n элементов по m в каждом.
Частные случаи:
равна
P n C p q
n
n
n
⋅
n
n n
−
2. Вероятность появления события A в n испытаниях 0 раз равна
( )
P =0
раз равна
раз
n
R m Pn 0
=
q .
= ⋅ p q
n
1
3. Вероятность появления события A в n испытаниях не более m
n ( )( )+ P ( )
n 1 + P ()( )mP
4. Вероятность появления события A в n испытаниях не менее m
n () ( )+ n ( )()nP
R m
() ( )∑=
=
равна
n
i m
n
R m P m P m+ + ⋅ ⋅ ⋅+ n
= n
P i .
Теорема Пуассона
В случае, когда вероятность появления события p мала ( p< 1,0 ), а
число независимых испытаний n велико для оценок вероятности
появления события ровно m раз в n независимых испытаниях
используют асимптотическую формулу Пуассона:
где
= n p⋅
таблица 6)
P m = ⋅ −em
m
n ()
!
и n - велико, p- очень мала.
Для значений функции e− составлены таблицы (см. “Приложения”
Локальная терема Муавра – Лапласа
20
,
n 2 + ⋅ ⋅ ⋅+ n
1
.
или
n ⋅ = p .
n
0
m m n m
n
,
p; 0< p<1; m
Cn –
1.Вероятность появления события A в n испытаниях ровно n раз
n ()= ⋅
λ
λ
λ
λ
Стр.22
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
4. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Основным объектом теории вероятностей и математической статистики
являются случайные величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает
только одно из всех возможных значений, но неизвестно, какое
именно.
Случайные величины подразделяют на дискретные и непрерывные.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает
конечное или счетное множество значений.
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину,
возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый
интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.
Непрерывная случайная величина считается заданной, если известен
закон её распределения. Закон распределения можно задать функцией распределения
вероятностей (плотностью вероятности)
f ( )x . Она показывает,
как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной
величины, в зависимости от значения самой этой величины:
dx dP f ()dxx
f x dP
() = ⇒ =
P a x b
вид:
+∞
−∞
∫ f x dx =1.
()
Наряду с плотностью вероятности используется также и функция распределения
непрерывной случайной величины:
F x
мает значения меньше x :
( )
() ()dxxf
= ∫
0
x
.
Эта функция равна вероятности того, что случайная величина приниF
x P= −∞ 〈〈X x).
(
Случайная величина распределена по нормальному закону, если её
плотность вероятности имеет вид:
24
() ( )dxxf
〈 〈 = ∫
b
a
.
Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет
.
Интегрируя данное выражение, находим вероятность того, что
случайная величина принимает какое-либо значение в интервале a b, ():
Стр.26
Доверительный интервал для средней арифметической
нормально распределенной ГС.
Выше мы указывали, что наилучшей оценкой генеральной средней
является Bx выборки. Очевидно, что чем точнее Bx определяет
генеральной совокупности, тем меньше абсолютная величина разности
− x B
.
установил закон распределения случайной величины
x
S
В 1906 г. английский математик У. Госсет (псевдоним "Стьюдент")
t xB= −
Эта величина получила название "параметра Стьюдента ".
Отметим, что для выборок объемом
[ ]1 ).
n > 30 распределение этого
параметра практически не отличается от нормального.
При малых объемах выборки кривая Стьюдента на графике
располагается несколько ниже кривой нормального распределения
(подробности см. учебник Кремера
критических значений параметра t (см. таблицу № 2 Приложения). Для
его определения по этой таблице необходимо знать соответствующее
В учебниках по математической статистике обычно приводят таблицу
значение
и число степеней свободы выборки k :
k = − 1n
На пересечении столбца значения
и строки "k " читаем значение
запишем его как
Конкретизируем значение параметра t индексами
t k,
. Тогда имеем:
t
− t
,k ≤
± , k =
x B −
S x
Доверительный интервал можно записать как
x B −
S x
,k Sx
xB
≤ t
От этой формы записи нетрудно перейти к виду:
xB − t
⋅ ≤ ≤ + t
, k
,k ⋅ S x
Это и есть стандартная форма записи доверительного интервала для
математического ожидания генеральной совокупности, распределенной по
закону Гаусса. Доверительный интервал записывают и в виде:
42
t k,
.
Он может принимать положительное и отрицательное значения, т.к. его
распределение симметричное.
и k , т.е.
µ
µ
µ
µ
α
α
µ
α
α
α
α
α
α
µ
µ
α
µ
α
Стр.44
где
точность используется в фармации, биологии, медицине) уровень значимости
,
k
= − 1n
t k,
– число степеней свободы.
и k = −1 5=n
8,03 0, 18−
7, 75<
= ∆ ⋅
x
x
- параметр Стьюдента находится по таблице 2 приложения по
=
, t0,05;5 2,57 0,0696 0,179 .
⋅
< Bx + x∆ ;
<
=
<8,03 0,18+
⋅
;
< 21,8 или
= ()г2,08 ±
100% 0,18
≈
.
7. Предельная относительная погрешность
8,03 100% 2,2 %
.
Ответ: истинное содержание компонента в веществе
с доверительной вероятностью 0,95.
= (8,0 0,2) г .
±
7; 8 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ
Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
Критическая область и область принятия гипотезы.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения,
или о характеристиках генеральной совокупности, из которой
извлечена выборка. Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров
двух или нескольких распределений, о независимости выборок и другие.
Например:
1. генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
2. математические ожидания двух совокупностей, распределенных по
нормальному закону, равны между собой.
В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного
распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.
Различают нулевую и конкурирующую гипотезы.
распределения случайной величины, о параметрах генеральной совокупности
(
Нулевой H 0 гипотезой называют предположение о виде функции
=
0;
=
0 ), или о равенстве математических ожиданий
(или дисперсий) двух и более генеральных совокупностей.
≈
6. Доверительный интервал измеряемой величины:
xB − x∆ <
=0,05
- уровень значимости. При доверительной вероятности 95% (такая
= −1 0,95 0, 05=
45
α
µ
α α
α
µ µ
µ
δ
µ
µ
µσ
σ
Стр.47
9. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Функциональная, статистическая и корреляционная
зависимости. Цель и задачи корреляционного анализа.
Для решения многих задач экономики и медицины требуется
установить и оценить зависимость между изучаемыми случайными
величинами x и y .
Две случайные величины x и y могут быть связаны функциональной
зависимостью, статистической или быть независимыми.
Функциональной зависимостью между величинами x и y называется
зависимость, при которой каждому значению x из множества её
допустимых значений соответствует одно или несколько значений
объемом шара и его радиусом
величины y и обозначается y f ( )x=
=
3
V 4 R
. Например, зависимость между
3
является функциональной,
т.к. каждому значению радиуса шара R соответствует определенное
значение его объема V .
Функциональная зависимость между величинами x и y в
экономике и медицине реализуется редко, т.к. обе величины или одна из
них подвержены действию случайных факторов. Например, если x -
количество вводимого препарата, то его концентрация в крови ( y ) в
произвольный момент времени определяется не только количеством
введенного препарата, но и массой больного, скоростью выведения
препарата из организма и т. д. В этом случае между величинами возникает
статистическая зависимость.
Статистической зависимостью величины y от величины x
называют такую зависимость, при которой каждому значению величины x
из множества ее возможных значений, соответствует некоторое множество
возможных значений величины y , характеризуемое определенным
законом распределения. При этом изменение величины x приводит к
изменению распределения величины y . Например, зависимость между
возрастом ребенка и его весом является статистической, т.к. если у группы
детей в возрасте 2-х лет
()
жество различных значений: y1 =12,7 ,кг у2 =13,1 ,кг у3 =13,3 кг
и т. д.
Частным случаем статистической зависимости является кореляционная
зависимость.
Корреляционная зависимость проявляется в том, что при изменении
одной величины, например x , изменяется условное среднее значение
50
x = 2 измерить массу тела y , то получим мноπ
Стр.52
r =
∑ −
∑
n
i=1
n
i=1
i
(x x)
(x2 − x)(y y
n
(
i − )
(1).
2 ⋅∑ −iy y)
i=1
2
Рис. 7
Для определения коэффициента корреляции r по формуле (1) составляем
расчетную таблицу 2. Данные заносим в столбцы 1,2,3:
Таблица 2
Расчет
x
i
y i
1 2 3
1 14,5 3,0
2 13,0 3,2
3 11,2 4,0
4 10,0 4,5
5 8,3 5,0
6 7,9 5,5
x xi −
4
5,68
4,18
2,38
1,18
-0,52
-0,92
y yi −
5
-2,19
-1,99
-1,19
-0,69
-0,19
+0,31
(xi − )2
6
x
32,26
17,47
5,66
1,39
0,27
0,85
56
(y yi − )2
7
4,80
3,96
1,42
0,48
0,04
0,10
( − )(
8
-12,44
-8,32
-2,83
-0,81
+0,10
-0,29
x x y y− )
Стр.58
Значения функции () =
х
Таблица 4
−x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2
1
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
2
e 2
(ноль и запятая опущены)
3989 3989 3989 3989 3986 3984 3982 3980 3977 3973
3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
3697 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
3332 3312 3292 3271 3251 3230 3202 3187 3187 3187
3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
2179 2156 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1295 1276 1257 1238 1219 1200 1184 1163 1145 1127
1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
0440 0431 0433 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0045
0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
0033 0032 0031 0030 0029 0027 0026 0028 0025 0025
0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
0009 0008 0008 0008 0008 0004 0007 0007 0007 0006
0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 0003
0003 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002
0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
79
π
ϕ
Стр.81
Отпечатано редакционно-издательским отделом
ГОУ ВПО КемГМА Росздрава c готового оригинал-макета
650029, Кемерово,
ул. Ворошилова, 22а.
Тел./факс. +7(3842)734856;
epd@kemsma.ru
Подписано в печать 06.10.2006
Гарнитура таймс. Тираж 100 экз.
Формат 21×30/2. У.п.л. 4,8.
Требования к авторам см. на http://www.kemsma.ru/rio/forauth.shtml
Лицензия ЛР №21244 от 22.09.97
83
Стр.85