Л.Г. ЗУБРИНА, Н.Ю. ПОНИКАРОВА, Ю.Н. ХРАМОВА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
САМАРА 2004
УДК 512.64 + 514.12
Зубрина Л.Г., Поникарова Н.Ю., Храмова Ю.Н. <...> Определители, их вычисление и свойства
Определитель n - го порядка обозначается символом:
Δ=
aij
где
-
элементы
a11
a21
a12
a22
... a1n
... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
определителя,
...
,
горизонтальные
ряды
элементов
определителя называются его строками, вертикальные – столбцами. <...> Элементы
диагональ, а элементы
a1n , a2 n−1 , K , an1 -
Минором M ij элемента
aij
составляют главную
побочную диагональ.
определителя n-го
порядка называется
определитель (n-1)-го порядка, который получается из данного определителя
вычеркиванием i - ой строки и j - го столбца. <...> При n = 1 определитель состоит из одного элемента a11 и равен значению
этого элемента:
Δ = a11 . <...> a22
Определитель второго порядка равен произведению элементов главной
диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. <...> Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, каждое из
которых является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой
строки и каждого столбца. <...> Знак плюс имеют произведения элементов главной
диагонали и два произведения элементов, образующих треугольники с
основаниями, параллельными главной диагонали (схема I, рис. <...> Знак минус
имеют произведение элементов побочной диагонали и два произведения
элементов,
образующих
треугольники
с
основаниями,
побочной диагонали (схема II, рис. <...> 6) Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца
(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки),
умноженные на любой общий множитель
a11 a12 a11 + λa12
=
a21 a22 a21 + λa22
λ. <...> Повторяя этот прием, получают определитель второго или третьего порядка,
который вычисляется непосредственно. <...> Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие
элементы первой строки, умноженные на (-3); из элементов третьей
строки вычтем соответствующие элементы первой строки. <...> С помощью <...>
Линейная_алгебра_с_приложениями_к_аналитической_геометрии.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА
Л.Г. ЗУБРИНА, Н.Ю. ПОНИКАРОВА, Ю.Н. ХРАМОВА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
САМАРА 2004
Стр.1
УДК 512.64 + 514.12
Зубрина Л.Г., Поникарова Н.Ю., Храмова Ю.Н. Линейная алгебра с
приложениями к аналитической геометрии: Учеб.пособие / Самар. гос.
аэрокосм. ун-т. Самара, 2004. 99 с.
ISBN
Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, задачи для
проведения практических занятий, выполнения домашних заданий, варианты
контрольных и расчетно-графических работ по линейной алгебре с
приложениями к аналитической геометрии. Приведены примеры решения
типовых задач.
Учебное пособие выполнено на кафедре высшей математики и
предназначено для студентов первого курса Самарского государственного
аэрокосмического университета.
Табл. 1. Ил. 44. Библиогр.: 4 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского
государственного
С.П.Королева.
аэрокосмического
Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Горелова Е.Я.,
кандидат технических наук, доцент Аксенова Н.Л.
университета имени академика
ISBN
© Л.Г.Зубрина, Н.Ю.Поникарова,
Ю.Н.Храмова, 2004-02-15
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2004
Стр.2
Содержание
1. Определители, их вычисление и свойства…………………………………….4
2. Алгебра матриц ………………………………………………………………. 10
3. Системы линейных уравнений………………………………………………...17
3.1 Формулы Крамера………………………………………………………...17
3.2 Решение линейной системы с помощью обратной матрицы…………..18
3.3 Метод Гаусса………………………………………………………….…..18
3.4 Однородная система линейных уравнений……………………………...19
4. Векторная алгебра………………………………………………………………26
4.1 Основные определения……………………………………………………26
4.2 Линейные операции над векторами………………………………………27
4.3 Декартовы прямоугольные координаты векторов в пространстве….…28
4.4 Деление отрезка в данном отношении…………………………………...30
4.5 Скалярное произведение векторов……………………………………….34
4.6 Векторное произведение векторов……………………………………….39
4.7 Смешанное произведение векторов……………………………………...44
Варианты контрольной работы № 1…………………………………………...47
Расчетно-графическая работа № 1……………………………………………..49
5. Прямая на плоскости…………………………………………………………....51
6. Плоскость в пространстве……………………………………………………...56
7. Прямая в пространстве………………………………………………………….62
8. Линии второго порядка…………………………………………………………70
8.1 Окружность………………………………………………………………...70
8.2 Эллипс……………………………………………………………………...73
8.3 Гипербола…………………………………………………………………..77
8.4 Парабола……………………………………………………………………81
8.5 Преобразование уравнения линии второго порядка
к каноническому виду……………………………………………………..84
9. Поверхности второго порядка………………………………………………….87
9.1 Канонические уравнения поверхностей………………………………….87
9.2 Цилиндрические поверхности……………………………………………91
9.3 Поверхности вращения……………………………………………………93
Варианты контрольной работы № 2…………………………………………...95
Расчетно-графическая работа № 2……………………………………………..97
Список литературы….…………………………………………………………..99
3
Стр.3