Это дает возможность
получить важнейшие начальные понятия о неустойчивости вычислительных
задач, а также научиться решать наиболее практически важные некорректные задачи на компьютере. <...> Эти алгоритмы являются универсальными и могут
быть использованы для решения широкого класса неустойчивых конечномерных линейных задач. <...> . . . . . .
3.2.4 Обусловленность матрично-векторного умножения
3.2.5 Число обусловленности матрицы . <...> Это явление связано с неустойчивостью (некорректностью) задачи – малые изменения данных задачи вызывают большие
изменения в решении. <...> Основная задача, которая рассматривается в данном учебном пособии, – это решение приближенных систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). <...> Как было указано А.Н. Тихоновым, при построении решения СЛАУ
принципиальным фактором является наличие погрешности задания
правой части и матрицы. <...> Классические алгоритмы решения СЛАУ, основанные на концепции абсолютной точности, при наличии погрешностей не могут быть положены в основу универсальных вычислительных
программ для ЭВМ в силу неустойчивости к погрешностям. <...> В учебном пособии рассматриваются два близких, но в тоже время
различных, класса проблем: плохо обусловленные и некорректные задачи, которые с точки зрения применимости численных методов, являются аномальными. <...> Дело в том, что для некорректных
задач малые возмущения в исходных данных могут приводить к сколь
угодно большим изменениям решения (неустойчивость задачи). <...> Следовательно, в рамках традиционной концепции приближенного решения, отвечающего приближенным данным, некорректные
задачи не могут быть решены. <...> Дело в том, что регуляризованная задача с точки зрения численного решения оказывается
существенно лучше: она корректна, устойчива. <...> Арифметические пространства
В вычислительных методах линейной алгебры под линейным (векторным) пространством над полем вещественных чисел понимается арифметическое n-мерное линейное пространство <...>
Введение_в_методы_решения_некорректных_задач.pdf
А.И. Жданов
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Стр.1
УДК 519.6(075)+512.64(075)
ББК 22.19+22.143
Ж422
Жданов А.И.
Введение в методы решения некорректных задач: Учеб. пособие. –
Изд-во Самарского гос. аэрокосмического ун-та, 2006. – 87 с.
ISBN 5-7883-0472-6
Рассмотрены основные понятия теории некорректных задач. В основном
изложение ведется для случая конечномерных задач. Это дает возможность
получить важнейшие начальные понятия о неустойчивости вычислительных
задач, а также научиться решать наиболее практически важные некорректные
задачи на компьютере. Для решения неустойчивых вычислительных задач
данного класса рассмотрены современные наиболее эффективные вычислительные
алгоритмы. Эти алгоритмы являются универсальными и могут
быть использованы для решения широкого класса неустойчивых конечномерных
линейных задач.
Предназначено для студентов обучающихся по специальностям "Прикладная
математика и информатика", "Прикладные математика и физика"и
др., а также для специалистов, применяющих в своей деятельности идеи и
методы решения некорректных задач на компьютерах.
Стр.2
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Вспомогательные сведения
7
1.1 Арифметические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Матричная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Нормы векторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Сингулярное разложение матриц . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Нормальные решения и псевдорешения
27
2.1 Псевдорешения линейных систем . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Линейная задача наименьших квадратов . . . . . . . . . . 30
2.3 Псевдообращение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Вычисление псевдообратных матриц . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Типовые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Вычисление псевдорешений
45
3.1 Определение множества чисел с плавающей точкой . . . . 45
3.2 Обусловленность и числа обусловленности . . . . . . . . . 46
3.2.1 Обусловленность задачи . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Абсолютное число обусловленности . . . . . . . . . 47
3.2.3 Относительное число обусловленности . . . . . . . 48
3.2.4 Обусловленность матрично-векторного умножения 49
3.2.5 Число обусловленности матрицы . . . . . . . . . . 51
3.3 Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Системы с квадратными невырожденными матрицами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Теория относительных возмущений . . . . . . . . . 56
3.3.3 Теория возмущений для задачи наименьших квадратов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Вычисление нормальных псевдорешений линейных систем 62
3
Стр.3
4
4 Вычисление решений приближенных систем
Оглавление
65
4.1 Корректность вычислительной задачи . . . . . . . . . . . 65
4.2 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Регуляризация систем на основе расширенных систем . . 69
4.4 Обусловленность вычислительной задачи . . . . . . . . . 71
4.5 Метод мнимого сдвига спектра . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Численные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Идентификация нестационарных AR-моделей
77
5.1 Стохастические непрерывные модели . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Стохастические дискретные модели . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Постановка задачи идентификации . . . . . . . . . . . . . 82
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Стр.4
Предисловие
Предисловие
На простейших примерах в учебном пособии подробно исследуется феномен
неустойчивости вычислительных задач и даются основные подходы
по преодолению численных "катастроф". При решении некоторых
математических задач встречаются ситуации, когда казалось бы,
незначительные возмущения (погрешности) исходных данных (например,
при записи их в компьютер) влекут катастрофические последствия
в результате. Это явление связано с неустойчивостью (некорректностью)
задачи – малые изменения данных задачи вызывают большие
изменения в решении. Для так называемых хорошо поставленных проблем
традиционные вычислительные методы работают вполне надежно,
однако их использование для решения неустойчивых (некоpректно
поставленных) задач не безопасно.
Основная задача, которая рассматривается в данном учебном пособии,
– это решение приближенных систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ).
Наличие неизбежных погрешностей (неточностей) в задании коэффициентов
как в правой так и в левой (матричном операторе) её частях,
порождённых конечной точностью представления чисел в ЭВМ приводит
к неопределённости искомого решения.
Как было указано А.Н. Тихоновым, при построении решения СЛАУ
принципиальным фактором является наличие погрешности задания
правой части и матрицы. Классические алгоритмы решения СЛАУ, основанные
на концепции абсолютной точности, при наличии погрешностей
не могут быть положены в основу универсальных вычислительных
программ для ЭВМ в силу неустойчивости к погрешностям.
В учебном пособии рассматриваются два близких, но в тоже время
различных, класса проблем: плохо обусловленные и некорректные задачи,
которые с точки зрения применимости численных методов, являются
аномальными. Любой "нормальный" метод (алгоритм), предназначенный
для решения "нормальной" (корректной) задачи, как правило,
для них работать не будет: либо результат будет неправильным,
либо произойдет останов ЭВМ в случае, когда выполнить требуемое
программой действие невозможно (разделить на 0 и т.п.).
Подобные задачи возникают во многих областях науки и техники:
геофизике, радиоастрономии, спектроскопии, экономике, медицинской
и технической диагностике, обработке и интерпретации данных физических
экспериментов. Тем не менее долгое время считалось, что подоб5
Стр.5