Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Тульский государственный педагогический университет
им. Л. Н. Толстого
Р. Р. Яфаева, Ю. И. Богатырева
МАТЕМАТИКА
И ИНФОРМАТИКА
Учебно-методическое пособие
Допущено Учебно-методическим объединением
по направлениям педагогического образования
Министерства образования и науки РФ в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 050700 «Педагогика»
В 2 частях
Часть 2: ПРАКТИКУМ
Тула
Издательство ТГПУ им. Л.Н. Толстого
2010
Стр.1
ББК 22.1я73+32.81я73
Я89
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В. И. Желтков
(Тульский государственный университет);
кандидат педагогических наук, доцент О. В. Чукаев
(Тульский государственный педагогический
университет им. Л. Н. Толстого)
Яфаева, Р. Р.
Я89
Математика и информатика: Учеб.-метод. пособие: В 2 ч.
Ч. 2: Практикум / Р. Р. Яфаева, Ю. И. Богатырева.– Тула: Изд-во
Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2010.– 111 с.
В пособии представлены основные положения дисциплины «Математика и
информатика», адаптированные для студентов направления подготовки «Педагогика».
Математика представлена следующими разделами: аксиоматический
метод построения математических теорий, комбинаторика, теория множеств,
понятия и свойства вероятностей, элементы математической статистики.
Информатика представлена разделами: понятие, свойства и измерение информации;
алгоритмы и языки программирования; понятие и компоненты программного
и аппаратного обеспечения современной компьютерной техники.
Практические задания направлены на формирование умений использовать
современные информационные технологии и стандартное программное обеспечение
в профессиональной деятельности педагога. Представленные примеры
решения задач позволяют использовать пособие для организации самостоятельной
работы студентов.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению
подготовки 050700 «Педагогика».
ББК 22.1я73+32.81я73
© Р. Р. Яфаева, Ю. И. Богатырева, 2010
© Издательство
ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2010
2
Стр.2
II. Практикум
Системы счисления
Основные умения: осуществлять действия с числами в
различных системах счисления.
Рекомендуемая литература: [13, 15, 22].
Системы счисления (нумерация) – совокупность способов
обозначения натуральных чисел.
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели
считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая
совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в
понятии «много». Первоначально натуральные числа изображались с
помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их
изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В
древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись
буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился
знак ~ (титло).
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до
настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа
изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для
обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги
(например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в
этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала
в Италии до XIII в., а в других странах Западной Европы – до XVI в.
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их
вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков,
особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее, неудобство
выполнения арифметических операций.
Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной
является десятичная система счисления, которая была изобретена в
Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла
в Европу. Существовали системы счисления и с другими основаниями.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная
система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной
системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги
(отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете
3
Стр.3
перебирались большим пальцем той же руки. Самой молодой системой
счисления по праву можно считать двоичную.
Различные группы систем счисления см. в части 1: Лекции стр. 12.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в
записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером
непозиционной системы счисления является римская система, в которой
в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая
цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых
цифр называется основанием системы счисления.
Значение числа Х, представленного в виде sp … s1s0, s-1…s-q, равно
Х=sp t р +sp-1 t p-1 +…+ s1t + s0 + s-1t -1+…+s-q t -q,
где t – основание системы счисления, равное числу цифр, используемых
для записи, si – цифра.
Рассмотрим системы счисления:
1) десятичную – t=10, si∈{0,1,…,9};
2) двоичную – t=2, si∈{0,1};
3) восьмеричную – t=8, si∈{0,1,…,7};
4) шестнадцатеричную – t=16, si∈{0,1,…,9,A,B,C,D,E,F};
(416,3)8=4⋅102+1⋅101+6⋅100+3⋅10-1=400+10+6+0,3= 416,3
(10100)2 = 1⋅24+0⋅23+1⋅22+0⋅21+0⋅20=16+4= 20
Перевод в двоичную систему счисления из 10-ичной производится
отдельно целой и дробной части.
Целая часть – последовательным делением на 2. Остатки от
деления, записанные в обратном порядке, образуют новую запись
исходного целого числа.
Пример 1: Перевести число 92 из десятичной системы в
двоичную.
92 : 2 = 46 (ост. 0)
46 : 2 = 23 (ост. 0)
23 : 2 = 11 (ост. 1)
11 : 2 = 5 (ост. 1)
5
: 2 = 2
9210=10111002
Дробная часть – последовательным умножением на 2. Цифры в
разряде целых образуют искомое представление исходного числа.
(ост. 1)
2 : 2 = 1 (ост. 0)
4
Стр.4
Пример 2: Перевести число 0,648 из десятичной системы в
двоичную:
0,648 Ч 2 = 1,296 (1)
0,296 Ч 2 = 0,592
0,592 Ч 2 = 1,184
0,184 Ч 2 = 0,368
0,368 Ч 2 = 0,736
0,736 Ч 2 = 1,472
(0)
(1)
(0)
(0)
(1) и т.д.
k=pn, то каждую цифру в записи числа с основанием счисления k
заменяется n цифрами системы счисления p. Рассмотрим связь между
двоичной, четырехричной, восьмеричной и шестнадцатеричной
системами счисления.
четырехричная
шестнадцатеричная
Цифра
двоичный код
цифра
0 00 0
1 01 1
2 10 2
3 11 3
4
5
6
7
8
9
восьмеричная
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
A
B
C
D
E
F
двоичный код
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Пример 3: Представим число 92,64810 в 4-й, 8-й и 16-й системах
счисления.
В двоичной системе число 92,64810 = 1011100,1010012. Число
разбивается на группы, группы отчитываются от запятой, разделяющей
целую и дробную часть, недостающие позиции заменяются нулями. В
начале целой части или в конце дробной нули незначащие.
5
(0,648)10=(0,101001…)2
Если основание системы счисления k можно представить в виде
Стр.5
Разобьем на пары:
1011100,1010012 = 01 01 11 00,10 10 01 = 1130,2214
Разобьем на триады:
1011100,1010012 = 001 011 100,101 001 = 134,518
Разобьем на тетроды:
1011100,1010012 = 0101 1100,1010 0100 = 5С,A416
92, 64810 = 1011100,1010012= 1130,2214= 134,518 =5С,A416
Можно заметить, что чем больше основание системы счисления,
тем меньше необходимо цифр для записи числа.
Арифметические операции
Арифметические операции во всех позиционных системах
счисления выполняются по правилам, аналогичным в десятичной
системе. Для выполнения операций необходимы следующие понятия:
A M B=C (mod D)
1) остаток от деления (D); 2) целочисленное деление (C).
Например, 8 M 5 =1 (mod 3); 10 M 3 = 3 (mod 1); 8 M 4 = 2 (mod 0).
Сложение
При сложении, числа записываются столбиком в соответствии с
разрядами. Складываются цифры. Записывается цифра, равная остатку от
деления суммы на основание системы счисления, а число, равное
результату целочисленного деления суммы на основание системы
счисления переносится в старший разряд.
При сложении чисел можно воспользоваться таблицей:
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
Пример 4: Сложить числа 110110102 и 1010102.
Решение.
1 1 1 1 1
+ 1 1 0 1 1 0 1 02
1 0 1 0 1 02
1 0 0 0 0 0 1 0 02
Проверка: 110110102 =218; 1010102= 42; 1000001002=260; 218+42=260
Выполнить действия: 1000112+101112=1110102; 101112 + 1012=111002;
110110102 + 1010102=1000001002; 101,012 + 11,112=10012;
4758+5148=12118; 728 + 128=1048; 16,248 + 53,458=71,718 .
6
Стр.6
Вычитание
Для осуществления операции вычитания можно воспользоваться
таблицей сложения. Возможен заем числа равного основанию системы
счисления из старших разрядов, при этом нули, стоящие между цифрой, от
которой вычитают и цифрой, у которой «занимают» превращаются в
максимальную цифру системы счисления.
Пример 5: Вычесть из числа 11100112 число 11102.
Решение.
. 1 2
– 1 1 1 0 0 1 12
1
1
1
02
1 1 0 0 1 0 12
Проверка: 11100112= 115; 11102 = 14; 11001012=101; 115-14=101
Выполнить действия: 10101112 -11012 =10010102; 5148 – 4758=178; 728 –
168=548;
53,158 – 16,268=34,678
Умножение
При умножении числа записываются столбиком, перемножается
каждая цифра множителя на каждую цифру множимого числа, записывается
остаток от деления результата умножения на основание системы счисления,
а целая часть складывается с результатом умножения следующей цифры,
затем полученный столбец чисел складывается. Для умножения чисел можно
воспользоваться таблицей:
Двоичная система:
Ч 0 1
0 0 0
1 0 1
Пример 6: Найти произведение чисел 110112 и 1102.
Решение.
х 1 1 0 1 12
1
1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1 02
Проверка: 110112 =27 ; 1102=6 ; 101000102 = 162; 27×6=162.
Выполнить действия: (11011)2 Ч (110)2= (10100010)2
(33) 8 Ч (6)8= (242)8 (1В) 16 Ч (6)16= (А2)16
7
02
Стр.7
Деление
Деление осуществляется по тому же алгоритму, что и в десятичной
системе – «деление уголком», также можно воспользоваться таблицей
умножения. От делимого выделяется часть большая делителя, но не больше
чем в t раз (t – основание системы счисления). В результате подбирается
цифра, произведение делителя на которую даст число, меньшее
выделенного, произведение записывается под делимым, сносится
следующая цифра, если получившееся значение числа превосходит
делитель, пишется – подбирается новая цифра, если нет – в частном пишется
0 и сносится следующая цифра и т.д., до получения результата или
достижения требуемой точности.
При проведении арифметических операций над числами,
различных
выраженными в
Решение.
1 0 0 0’
1
0
1
1
1
1
0
0 0 12 1 0 12
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Проверка: 10000012 =65; 1012= 5; 11012 = 13; 65: 5= 13.
Выполнить действия:
(10100010)2 : (110)2= (11011)2 (242)8 : (6)8= (33)8 (А2)16 : (6)16=(1В) 16
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Перевести в десятичную систему:
1001012 =____________ 10
131,58 =______________10
A0C416 =_____________10
2031,024 =____________10
Задание 2. Перевести в различные системы счисления из десятичной:
93310 =_________________16
45,8310 =________________8
68810 =_____________________8
27,7210 =____________________2
8
0
12
системах
счисления,
предварительно перевести их в одну и ту же систему.
Пример 7: Найти частное чисел 10000012 и 1012.
необходимо
Стр.8
29510 =_____________________16
83,0310 =____________________4
Задание 3. Выполнить действия, проверить путем перевода в
десятичную систему счисления:
100112-1102=_____________________2
100112+101112 =__________________2
111012×1012 =____________________2
1110002/11102 =___________________2
10001112-101102 =_________________2
100112×101112 =___________________2
10000112+10012 =__________________2
110012/1012 =______________________2
Задание 4. Записать в различных системах счисления, используя
таблицы:
1001001,1102 =_________________4
10011,101112 =_________________16
11101,1012 =___________________8
543,138
15A,C316 =________________________2
416,1138
=___________________2
=___________________2
232,0014 =__________________2
7C1,5916 =______________________2
Вопросы для самоконтроля
1. В чем отличие позиционной системы счисления от
непозиционной?
2. Приведите примеры непозиционных систем счисления.
3. Составьте алгоритм выполнения сложения в двоичной системе
счисления.
4. Составьте алгоритм выполнения вычитания в двоичной системе
счисления.
5. Составьте алгоритм выполнения умножения в двоичной системе
счисления.
6. Составьте алгоритм выполнения деления в двоичной системе
счисления.
9
Стр.9
Индивидуальные задания
1. Перевести в десятичную систему: 1001012 1011,112 0,11012
Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную
систему счисления из десятичной с точностью до 8 знаков после запятой для
бесконечных дробей: 3310
45,8310 0,12510
Выполнить действия, проверить путем перевода в десятичную:
101110012-1000112 ; 100112+101112;
100112×10112 ;
100001110002/11112.
2. Перевести в десятичную систему:
1101112 1001,012
0,1012
Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную
систему счисления из десятичной с точностью до 8 знаков после запятой для
бесконечных дробей: 6810 0,7510 27,7210
Выполнить действия, проверить путем перевода в десятичную:
10001010112-111012 ; 100112×101112;
10110112+101111012 ; 101001000002/100002
3. Перевести в десятичную систему: 101101102 1011,1012 0,111012
Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную
систему счисления из десятичной с точностью до 8 знаков после запятой для
бесконечных дробей: 62910 0,2510
19,3910
Выполнить действия, проверить путем перевода в десятичную:
1011000012-10102 ;
111012+101012;
1011101102×1000102 ; 100001110002/111100.
4. Перевести в десятичную систему: 1101002 101001,12 0,11012
Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную
систему счисления из десятичной с точностью 8 знаков после запятой для
бесконечных дробей: 29510 0,62510 83,0310
Выполнить действия, проверить путем перевода в десятичную:
10011000012-1011112; 1001012+101112;
101102×10112;
1010002/10002
10
Стр.10