Нелинейные динамические системы в экономике и финансах (400,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 004.451(073) ББК 22.161я73 Г 51 Попов Виктор Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор Департамента бизнес-информатики Высшей школы бизнеса; заведующий научно-учебной лабораторией моделирования и управления сложными системами Департамента больших данных и информационного поиска Факультета компьютерных наук Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; Аль-Натор Мухаммед Субхи, кандидат физико-математических наук, доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации. Рецензенты: Г 51 Гисин В.Б. Нелинейные динамические системы в экономике и финансах: Монография // В.Б. Гисин, Б.А. Путко. — М.: Прометей, 2022. — 204 с. ISBN 978-5-00172-339-4 В монографии дается изложение основных понятий и фактов теории нелинейных моделей с целью показать возможности применения этих моделей в экономике и финансах. Изложение сопровождается примерами таких приложений. Изложение построено так, чтобы оно было доступно выпускнику экономического вуза. Лишь в отдельных параграфах используются более сложные концепции современной математики. Эти места могут быть пропущены при чтении без значительного ущерба для понимания существа дела и основных приложений. В то же время, компактное изложение современных представлений теории нелинейных динамических систем может оказаться полезным и для профессионального математика. Книга предназначена для исследователей в области экономики и финансов, студентов, магистрантов и аспирантов, обучающихся по экономическим специальностям. ISBN 978-5-00172-339-4 © Гисин В.Б., Путко Б.А., 2022 © Издательство «Прометей», 2022

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .........................................7 Введение .............................................9 1. Равновесие и устойчивость. Неформальные определения .............................. 9 2. Линейные и нелинейные динамические модели ................................. 14 3. Пример нелинейной модели: модель экономического роста Гудвина .............. 22 Глава 1. Динамические системы. Непрерывное и дискретное время ................................. 31 1.1. Основные понятия ...................... 31 1.2. Динамические системы .................. 34 1.3. Параметрическое семейство динамических систем ................................ 35 1.4. Орбиты ............................... 38 1.5. Сечение Пуанкаре ...................... 42 1.6. Дискретизация ......................... 44 1.7. Орбитально топологическая эквивалентность ........................ 48 Глава 2. Глобальные свойства динамических систем .. 51 2.1. Консервативные и диссипативные системы .. 51 2.2. Предельные множества .................. 56 2.3. Поглощающие и притягивающие множества ............................. 59 2.4. Аттракторы ............................ 63 2.5. Подобные аттракторам объекты ........... 64 2.6. Регулярные и странные аттракторы ........ 67 2.7. Отталкивающие множества и репеллеры ....69 — 3 —

Стр.3

Оглавление Глава 3. Локальные свойства динамических систем ... 73 3.1. Локальная эквивалентность динамических систем ................................ 73 3.2. Линеаризация динамической системы ...... 74 3.3. Инвариантные многообразия в окрестности особой точки ........................... 77 Глава 4. Устойчивость и неустойчивость траекторий .. 81 4.1. Устойчивость траекторий относительно начальных условий ..................... 81 4.2. Функция Ляпунова ...................... 84 4.3. Показатели Ляпунова .................... 89 4.4. Показатели устойчивости траектории ....... 93 4.5. Численные методы нахождения старшего показателя Ляпунова .................... 96 Глава 5. Динамические системы в параметрическом семействе .......................................... 99 5.1. Структурная устойчивость ................ 99 5.2. Бифуркации динамических систем ........ 102 5.3. Типы динамических режимов ............ 107 Глава 6. Движение на аттракторе ................... 110 6.1. Оператор Перрона-Фробениуса ........... 110 6.2. Инвариантная мера на фазовом пространстве .......................... 112 6.3. Устойчивость по Пуассону ............... 115 6.4. Эргодическая мера ..................... 117 6.5. Эргодическое отображение ............... 119 6.6. Перемешивание ........................ 120 6.7. Физическая мера .....................123 Глава 7. Основные аспекты теории хаоса ............ 124 7.1. Существенная зависимость от начальных данных .............................. 124 7.2. Транзитивность ........................ 126 — 4 —

Стр.4

Оглавление 7.3. Периодическая полнота ................. 127 7.4. Строгое определения хаоса ............... 128 7.5. Хаотические режимы и странные аттракторы ........................... 131 Глава 8. Геометрия странных аттракторов ........... 134 8.1. Топологическая размерность и клеточная размерность .......................... 136 8.2. Обобщенные фрактальные размерности Реньи ................................ 138 8.3. Информационная размерность ............ 140 8.4. Корреляционная размерность ............ 144 Глава 9. Представление нелинейных динамических моделей нечеткими системами Такаджи-Сугено ...... 145 9.1. Строение нечетких моделей Такаджи-Сугено . 145 9.2. Модель ограниченно рациональной монополии ........................... 152 9.3. Модель бизнес-цикла с нелинейным акселератором с запаздыванием .......... 156 Глава 10. Восстановление динамической системы по временному ряду ................................ 161 10.1. Проблема выявления детерминированной составляющей в ряде наблюдаемых данных . 161 10.2. Геометрические аспекты моделирования динамической системы ................ 167 10.3. Построение восстановленной системы ..... 168 10.4. Выбор интервала задержки динамической системы ............................. 170 10.5. Выбор размерности вложения ........... 174 10.6. Подгонка параметров модели ............ 176 Глава 11. Рынок: стохастика и хаос. Концептуальные подходы к моделированию финансовых рядов на различных временных масштабах ............... 178 — 5 —

Стр.5

Оглавление Глава 12. Кейсы, связанные с нелинейными моделями 184 12.1. Система Лоренца с возмущениями как обобщенная модель системы города ...... 184 12.2. Идентификация детерминированной составляющей динамики доходностей индекса S&P500 ...................... 186 12.3. Модель бизнес-цикла с нелинейным акселератором ........................ 192 Литература ....................................... 197 — 6 —

Стр.6