ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)
Федеральное государственное образовательное
бюджетное учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математики
В.Б. Гисин
А. Хакки
Математический анализ 2
Учебное пособие
Математика.
для студентов, обучающихся
по направлению «Экономика»
Москва
2024
Стр.1
УДК 519.85
ББК 22.161
Г51
Авторы:
Гисин Владимир Борисович, к.ф.-м.н., профессор, профессор
кафедры математики при Правительстве Российской
Федерации, Заслуженный работник высшей школы;
Хакки Аднан, к.т.н., доцент, доцент кафедры математики
при Правительстве Российской Федерации.
Рецензенты:
Чечкин А.В., доктор физико-математических наук, профессор
департамента математики Финансового университета
при Правительстве Российской Федерации;
Орел О.Е., кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры высшей математики Московского физико-технического
института (МФТИ).
Гисин В.Б.
Г51
Математика. Математический анализ 2: Учебное
пособие / В.Б. Гисин, А. Хакки. — М.: Прометей,
2024. — 148 с.
ISBN 978-5-00172-665-4
Пособие предназначено для студентов, изучающих математику
на английском языке. Пособие содержит учебный материал, относящийся
к теории функций нескольких переменных и дифференциальным
уравнениям.
ISBN 978-5-00172-665-4
© Гисин В.Б., Хакки А., 2024
© Издательство «Прометей», 2024
Стр.2
UNDER THE GOVERNMENT OF THE RUSSIAN FEDERATION»
Chair of Mathematics
Federal State Educational Budgetary Institution
Of Higher Education
«FINANCIAL UNIVERSITY
V.B. Gisin
A. Hakki
Mathematics. Calculus 2
Manual
Level of Study: Bachelor Degree
Field of Study 38.03.01 “Economics”
Moscow
2024
Стр.3
Authors:
Gisin V.B., PhD, Professor, Chair of Mathematics, Financial
University under the Government of the Russian Federation;
Hakki
A., PhD, Assistant Professor, Financial University
under the Government of the Russian Federation.
Reviewers:
Chechkin A.V., Doctor of Physical and Mathematical
Sciences, Professor, Department of Mathematics, Financial
University under the Government of the Russian Federation;
Oryol O.E., PhD, Associate Professor, Chair of Higher
Mathematics, Moscow Institute of Physics and Technology
(MFTI).
Gisin V.B.
G51
Mathematics. Calculus 2: Manual / V.B. Gisin,
A. Hakki. — Moscow: Prometheus publishing house,
2024. — 148 p.
ISBN 978-5-00172-665-4
The manual is intended for students studying mathematics in
English. The manual contains educational material related to the
introduction to calculus and univariate calculus.
ISBN 978-5-00172-665-4
4
© Gisin V.B., Hakki A., 2024
© Prometheus рublishing house, 2024
Стр.4
Содержание
Preface .......................................... 7
1. Two- and Three-Dimensional Spaces
1.1. Polar Coordinates in 2-D Space ................... 8
1.2. Conics ..................................... 10
1.3. Rectangular Coordinates in R n .................. 12
1.4. Functions of Two or More Variables .............. 16
1.5. Planes in 3D Space ........................... 19
1.6. Quadric Surfaces and Cylinders in 3D Space ....... 21
1.7. Parametric Equations of Lines .................. 23
1.8. Appendix I. Quadric Surfaces in 3D Space ......... 26
1.9. Appendix II. The Cobweb Model (Convergence in pqplane)
...................................... 29
2. Calculus of Several Variables
2.1. Continuity .................................. 34
2.2. Partial Derivatives ........................... 35
2.3. Differentiability, Differentials, and Local Linearity . 37
2.4. The Chain Rule .............................. 40
2.5. Higher order derivatives and differentials. . . . . . . . . 41
2.6. Directional Derivatives and the Gradient .......... 43
2.7. Maxima and Minima of Functions of Two Variables . 48
2.8. Constrained Optimization. Lagrange Multipliers ... 53
2.9. Absolute Maximum and Minimum Values .......... 57
2.10. Appendix III. Black-Scholes Formula. Greeks ...... 59
2.11. Appendix IV. Functions of Several Variables
in Economic Models ........................... 65
3. Multiple Integrals
3.1. Double Integrals ............................. 70
3.2. Repeated Integrals ........................... 80
3.3. Double Integrals over Nonrectangular Regions ..... 81
3.4. Double Integrals in Polar Coordinates ............ 85
5
Стр.5
4. Differential Equations
4.1. Definition and Concepts ....................... 98
4.2. First-Order Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1. First-Order Linear Differential Equations ....... 99
4.2.2. Exact Differential Equations ................ 103
4.2.3. Separation of Variables ..................... 112
4.2.4. Phase Diagram ........................... 121
4.3. Second-Order Linear Differential Equations with
Constant Coefficients ........................ 132
4.3.1 The Homogeneous Equation .................. 133
4.3.2 The Inhomogeneous Equation ................ 138
Стр.6