1919
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Л.Р. Борисова, Н.И. Светлова, И.Ю. Седых
МАТЕМАТИКА
С ПОДДЕРЖКОЙ MS EXCEL
И ЯЗЫКА R
И АНАЛИЗ ДАННЫХ
Учебное пособие
Под редакцией И.Ю. Седых
МОСКВА
2023
Стр.1
УДК 517(073)
ББК 22.16173
Б82
математикиБорисова Л.Р., кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента
рации;
Авторы:
Финансового университета при Правительстве Российской ФедеСветлова
Н.И., кандидат пед. наук, ст. преподаватель департамента
Седых И.Ю., кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента
математики Финансового университета при Правительстве Российской
Федерации.
Егупова М.В., доктор пед. наук, доцент, профессор кафедры теории и
Рецензенты:
методики обучения математике и информатике ФГБОУ ВО МПГУ;
Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента
анализа данных и машинного обучения Финансового университета
при Правительстве Российской Федерации.
Б82
Борисова Л.Р.
Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel
ISBN 978-5-00172-445-2
Данное учебное пособие «Математика и анализ данных с поддержкой MS
математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
и
языка R: Учебное пособие / Л.Р. Борисова, Н.И. Светлова,
И.Ю. Седых; под ред. Седых И.Ю. — М.: Прометей,
2023. — 728 с.
Excel и языка R» разработано для учебного и методического обеспечения организации
и проведения учебного процесса по дисциплине «Математика и анализ
данных» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Гостиничное
дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология»,
«Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки
бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными
стандартами высшего образования последнего поколения.
В учебном пособии последовательно излагаются общие характеристики
табличного процессора MS Excel и языка программирования R с дальнейшим
применением их по мере изучения основных положений линейной
алгебры, математического анализа, теории вероятностей и математической
статистики. Каждый раздел начинается с изложения теоретического материала,
снабженного большим количеством решенных примеров разного уровня
сложности. Решение примеров проводится традиционным способом, а также
для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel
и с использованием языка R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного
решения, ответы к которым приведены в конце пособия.
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов, обучающихся
по программам академического бакалавриата, изучающих вышеперечисленные
разделы математики, и стремящихся освоить современные
инструментальные средства и их применение при решении задач. Также
оно может быть рекомендовано для программ прикладного бакалавриата,
при обучении слушателей бизнес-школ, колледжей, также для программ
повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических
знаний.
ISBN 978-5-00172-445-2
© Борисова Л.Р., Светлова Н.И., Седых И.Ю.
2023
© Издательство «Прометей», 2023
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................7
Введение в MS Excel ......................................................................9
Введение в язык программирования R .....................................20
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Раздел I
Глава 1. Векторы, матрицы, определители ...............................30
1.1. Матрицы и операции над ними ...............................30
1.2. Определитель квадратной матрицы .........................48
1.3. Обратная матрица .................................................56
1.4. Векторные пространства и п-мерные векторы ...........70
1.5. Ранг матрицы .......................................................79
Задачи для самостоятельного решения ........................85
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений ........91
2.1. Основные понятия и определения ...........................91
2.2. Методы решений систем линейных уравнений ..........93
2.3. Однородные системы линейных уравнений ............. 110
Задачи для самостоятельного решения ...................... 117
Глава 3. Линейные преобразования (операторы) ..................122
3.1. Определение линейного оператора и его матрица ..... 122
3.2. Собственные векторы и собственные числа ............. 125
Задачи для самостоятельного решения ...................... 133
Глава 4. Задачи оптимизации. Линейное
программирование ....................................................................135
4.1. Выпуклые множества в п-мерном пространстве ....... 135
4.2. Основная задача линейного программирования ...... 140
4.3. Графический метод решения ................................ 145
4.4. Транспортная задача ........................................... 161
Задачи для самостоятельного решения ...................... 173
3
Стр.3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Раздел II
Глава 5. Функции одной переменной .......................................219
5.1. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 219
9.2. Основные элементарные функции и их графики ...... 222
5.3. Классификация функций. Преобразование
графиков ........................................................... 232
Упражнения и задачи с решениями ............................. 236
Глава 6. Пределы и непрерывность .........................................245
6.1. Числовая последовательность и ее предел ............... 245
6.2. Предел функции ................................................. 249
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие
величины .......................................................... 251
6.4. Основные теоремы о пределах. Признаки
существования предела........................................ 254
6.5. Первый и второй замечательные пределы ............... 256
6.6. Вычисление пределов. Раскрытие
неопределенностей различных типов ..................... 259
6.7. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Асимптоты ........................................................ 277
Упражнения и задачи с решениями ............................. 284
Глава 7. Дифференциальное исчисление ................................294
7.1. Определение и геометрический смысл производной . 294
7.2. Правила дифференцирования. Производные
основных элементарных функций. Производная
сложной функции ............................................... 298
7.3. Основные теоремы дифференциального
исчисления. Правило Лопиталя ............................ 304
7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции .... 310
7.5 Производные высших порядков. Точки перегиба
функций ............................................................ 314
7.6/ Общая схема исследования функций
и построения их графиков .................................... 317
7.8. Дифференциал функции ...................................... 340
4
Стр.4
7.9. Экономические приложения пределов
и производной .................................................... 344
Задачи для самостоятельного решения ...................... 349
Глава 8. Интегральное исчисление ..........................................354
8.1. Первообразная функция. Неопределенный
интеграл ............................................................ 354
8.2. Основные методы интегрирования ........................ 357
8.3. Определенный интеграл. Геометрический смысл
определенного интеграла. Формула Ньютона —
Лейбница .......................................................... 375
8.7. Геометрические приложения определенного
интеграла .......................................................... 384
8.8. Несобственные интегралы .................................... 386
Задачи для самостоятельного решения ...................... 395
Глава 9. Функции нескольких переменных ............................398
9.1. Основные понятия. Частные производные
функции нескольких переменных.......................... 398
9.2. Градиент функции двух переменных ...................... 401
9.3. Экстремум функции двух переменных ................... 404
9.4. Метод наименьших квадратов ............................... 405
Упражнения и задачи с решениями ............................ 409
Практико-ориентированные задачи .......................... 413
Задачи для самостоятельного решения ...................... 416
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА, АНАЛИЗ ДАННЫХ
Раздел III
Глава 10. Случайные события ..................................................458
10.1. Случайные события и операции над ними ............. 458
10.2. Элементы комбинаторики .................................. 462
10.3. Различные определения вероятности ................... 467
10.4. Условная вероятность. Независимость событий ..... 477
10.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса .... 486
10.6. Схема независимых испытаний ........................... 491
Задачи для самостоятельного решения ...................... 497
5
Стр.5
Глава 11. Случайные величины ...............................................503
11.1. Случайные величины. Функция распределения ..... 503
11.2. Дискретные случайные величины ....................... 505
11.3. Непрерывные случайные величины ..................... 518
11.4. Числовые характеристики случайных величин ...... 534
11.5. Предельные теоремы ......................................... 556
11.6. Функции случайных величин ............................. 569
11.7. Многомерные случайные величины ..................... 572
Задачи для самостоятельного решения ...................... 582
Глава 12. Математическая статистика ....................................588
12.1. Выборка и ее представление ................................ 588
12.2. Выборочные числовые характеристики ................ 603
12.3. Точечные оценки ............................................... 605
12.4. Интервальные оценки ........................................ 620
12.5. Проверка статистических гипотез ........................ 632
Задачи для самостоятельного решения ...................... 672
Глава 13. Парная линейная регрессия ....................................683
13.1. Построение модели парной линейной регрессии .... 683
13.2. Оценка качества уравнения регрессии.
Коэффициент детерминации ................................ 688
13.3. Проверка значимости уравнения регрессии .......... 689
Задачи для самостоятельного решения ...................... 695
Ответы ........................................................................................697
Литература.................................................................................724
Стр.6