Высшая математика (750,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ (УНИВЕРСИТЕТ) МИНИСТЕРСТВА ИНОСТРАННЫХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» А.А. Симушев, С.М. Зарбалиев, В.В. Григорьев ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие МОСКВА 2022

Стр.1

УДК 51 ББК 22.1я73 С 378 Редактор: Зарбалиев С.М. Артамонов Н.В., канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий Рецензенты: кафедрой математики, эконометрики и информационных технологий МГИМО МИД России; Кравцев С.В., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа МГУ им. М.В. Ломоносова. С 378 Симушев А.А. Высшая математика: Учебное пособие / А.А. Симушев, С.М. Зарбалиев, В.В. Григорьев. — М.: Прометей, 2022. — 224 с. ISBN 978-5-00172-357-8 В учебном пособии содержатся наиболее важные раздели математического анализа: введение в анализ, дифференциальное исчисление и интегральное исчисление функций одной переменной. Учебное пособие покрывает основные разделы, входящие в стандарт курса «Математический анализ». Каждая глава делится на параграфы, посвященные отдельным темам. В конце приведён большой список используемой литературы. На протяжении всей книги выдержан строгий научный стиль изложения, все основные теоремы снабжены подробными доказательствами и найден удачный баланс между математической строгостью и доступностью изложения. Все темы проиллюстрированы примерами с подробнейшими решениями. Важной особенностью учебного пособия является то, что в нём разобрано большое количество типовых задач. В основу книги положены лекции, читаемые авторами в МГИМО МИД России и НИУ МЭИ. Учебное пособие представляет интерес для широкого круга учащихся как на бакалаврских программах, так в магистратуре. Его можно рекомендовать студентам, желающим получить систематические знания по предмету. Учебное пособие предназначено для подготовки студентов и магистров экономических и технических вузов при изучении ими разделов математического анализа и для самостоятельной проработки соответствующего материала студентами дистанционной формы обучения. Настоящее пособие может быть использовано аспирантами и преподавателями. Объем рассмотренного материала соответствует программе для высших учебных заведений, рекомендованной Министерством науки и высшего образования РФ. © Симушев А.А., Зарбалиев С.М., Григорьев В.В., 2022 ISBN 978-5-00172-357-8 © Издательство «Прометей», 2022

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление ........................................................................................ 3 Предисловие ...................................................................................... 6 Глава I. Введение в анализ .................................................................. §1. Некоторые сведения из теории множеств ...................................... 8 8 1.1. Элементы логической символики ............................................... 8 1.2. Множества. Основные понятия ................................................... 9 1.3. Операции над множествами ........................................................ 10 1.4. Основные числовые множества .................................................. 11 1.5. Некоторые свойства действительных чисел ............................... 12 1.6. Ограниченные и неограниченные множества ............................. 15 §2. Числовая последовательность ....................................................... 19 2.1. Числовая последовательность. Арифметические операции над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности ...................................... 19 2.2. Предел числовой последовательности ........................................ 20 2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Теорема о представлении ....................................... 23 2.4. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями ..................................... 27 §3. Предельный переход в неравенствах ............................................. 29 §4. Монотонные последовательности .................................................. 30 4.1. Основные понятия ....................................................................... 30 4.2. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности ............................. 31 4.3. Бином Ньютона ............................................................................ 32 4.4. Число e ........................................................................................ 34 4.5. Принцип вложенных отрезков .................................................... 35 §5. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса ................................................. 36 5.1. Подпоследовательность. Частичный предел .............................. 36 5.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности .......... 37 §6. Критерий Коши для сходимости последовательности ...................... 39 6.1. Фундаментальная последовательность ...................................... 39 6.2. Необходимое и достаточное условие (критерий) сходимости последовательности ................................................. 40 3

Стр.3

§7. Числовые функции ....................................................................... 41 7.1. Числовые функции и их графики ................................................ 41 7.2. Способы задания функции .......................................................... 42 7.3. Арифметические действия над функциями ................................. 44 7.4. Основные характеристики функций ........................................... 45 §8. Предел функции ........................................................................... 49 8.1. Два определения предела функции в точке. Их эквивалентность ..................................................................... 49 8.2. Обобщение понятия предела функции в точке. Предел функции при x ........................................................ 52 8.3. Односторонние пределы функции ............................................... 53 8.4. Свойства пределов функций, связанные с арифметическими операциями и предельным переходом в неравенствах ............... 55 8.5. Локальная ограниченность функций, имеющих (конечный) предел. Критерий Коши существования (конечного) предела функции ....................................................................................... 56 8.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................... 58 §9. Непрерывность функции .............................................................. 59 9.1. Понятие непрерывности функции в точке .................................. 59 9.2. Точки разрыва. Их классификация ............................................. 62 9.3. Локальные свойства непрерывных функций .............................. 64 9.4. Замечательные пределы .............................................................. 67 9.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке ............................. 68 §10. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Символика o ............................................................................. 78 10.1. Эквивалентные функции ........................................................... 78 10.2. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов ..................................................................................... 79 10.3. Сравнение функций. Символика o ........................................... 80 10.4. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора ....... 82 Глава II. Дифференциальное исчисление ............................................. 84 §11. Дифференцирование .................................................................. 84 11.1. Понятие производной ................................................................ 84 11.2. Дифференцируемость функции ................................................. 86 11.3. Правила дифференцирования ................................................... 92 11.4. Производные и дифференциалы высших порядков ................. 101 4

Стр.4

§12. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций ............................................................ 105 12.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ............... 105 12.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей .................. 112 12.3. Формула Тейлора ....................................................................... 115 12.4. Исследование поведения функция и построение графиков ..... 122 Глава III ............................................................................................. 141 §13. Неопределенный интеграл .......................................................... 141 13.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл .............. 141 13.2. Основные свойства неопределенного интеграла ...................... 142 13.3. Таблица основных неопределённых интегралов ....................... 144 13.4. Основные методы интегрирования ........................................... 146 13.5. Постановка задачи интегрирования в конечном виде .............. 152 §14. Определённый интеграл .............................................................. 153 14.1. Определение и условия существования определённого интеграла ................................................................................... 153 14.2. Свойства определённого интеграла .......................................... 162 14.3. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенных интегралов .................................... 169 14.4. Приложения определённого интеграла .................................... 178 §15. Несобственные интегралы .......................................................... 195 15.1. Несобственный интеграл на бесконечном промежутке (несобственный интеграл первого рода) ................................... 195 15.2. Несобственный интеграл на конечном промежутке (несобственный интграл второго рода) ..................................... 196 15.3. Несобственный интеграл с единственной особой точкой, расположенной на конце промежутка интегрирования ............. 198 15.4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения несобственных интегралов ...................... 202 15.5. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов ........................................................ 208 Приложения ...................................................................................... 212 Литература ........................................................................................ 222 5

Стр.5