Высшая математика (615,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 517(075.8) ББК 22.16я73 Г83 Рецензенты: Азарнова Т.В. - заведующая кафедрой математических методов исследования операций ФГБОУ ВО Воронежский государственный университет, д.т.н., профессор; Буховец А.Г. - профессор кафедры экономического анализа, статистики и прикладной математики ФГБОУ ВО Воронежский государственный аграрный университет, д.т.н., профессор Г83 Высшая математика: учебное пособие / И.В. Гриднева, Л.И. Федулова, Л.А. Шишкина. – М.: ООО «ИКЦ Колос-с», 2023. – 200 с. ISBN 978-5-00129-355-2 В учебном пособии излагается теоретический материал и приводятся примеры решения типовых задач по разделам: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, функции нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, числовые и функциональные ряды. В учебном пособии рассмотрено применение математических методов и понятий для решения прикладных задач в экономике. Учебное пособие предназначено для обучающихся, проходящих подготовку по направлению 38.05.01 «Экономическая безопасность», при изучении дисциплины «Математика». УДК 517(075.8) ББК 22.16я73 ISBN 978-5-00129-355-2 © Авторский коллектив, 2023 © ООО «ИКЦ «Колос-с», 2023 2

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................... 7 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ .............................................. 9 1.1. Элементы линейной алгебры ................................................... 9 1.1.1. Матрицы .............................................................................. 9 1.1.2. Определители .................................................................... 13 1.1.3. Системы линейных алгебраических уравнений ............ 16 1.1.4. Применение элементов линейной алгебры в экономике ....................................................................... 25 1.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии .................................................................................. 28 1.2.1. Система координат ............................................................ 28 1.2.2. Векторы. Линейные операции над векторами ................ 30 1.2.3. Базис на плоскости и в пространстве .............................. 32 1.2.4. Линейные операции над векторами в координатной форме ......................................................... 33 1.2.5. Аналитическая геометрия на плоскости ......................... 40 1.2.6. Плоскость и прямая в пространстве ................................ 49 1.2.7. Кривые второго порядка ................................................... 53 1.2.8. Применение аналитической геометрии в экономике .... 58 Контрольные вопросы ....................................................................... 60 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ....................... 62 2.1. Функции одной переменной ................................................... 62 2.1.1. Понятие функции. Основные свойства функций ........... 62 2.1.2. Основные элементарные функции................................... 62 2.1.3. Применение функций в экономике................................. 65 2.2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности ................................................................. 66 2.3. Предел функции ....................................................................... 69 2.3.1. Предел функции в точке ................................................... 69 2.3.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ..... 70 2.3.3. Основные теоремы о пределах ......................................... 71 2.3.4. Понятие о неопределенностях ......................................... 71 2.3.5. Замечательные пределы .................................................... 74 2.3.6. Непрерывность и точки разрыва функции ..................... 75 Контрольные вопросы ....................................................................... 78 3

Стр.3

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ......................................... 79 3.1. Производная функции ............................................................. 79 3.1.1. Понятие производной........................................................ 79 3.1.2. Основные правила дифференцирования ......................... 79 3.1.3. Дифференцирование сложной, обратной и неявно заданной функций .............................................................. 80 3.1.4. Производные высших порядков ...................................... 83 3.1.5. Экономические интерпретации производной ................ 84 3.2. Дифференциал функции ......................................................... 85 3.2.1. Понятие дифференциала функции .................................. 85 3.2.2. Дифференциалы высших порядков ................................. 87 3.3. Исследование функций и построение графиков .................. 88 3.3.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя ....................................... 88 3.3.2. Асимптоты графика функции .......................................... 92 3.3.3. Определение интервалов монотонности и экстремумов функции ....................................................... 96 3.3.4. Выпуклость функции и точки перегиба ........................ 100 3.3.5. Общая схема исследования функции и построения графика ...................................................... 102 Контрольные вопросы ..................................................................... 110 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ............................................................ 112 4.1. Неопределенный интеграл .................................................... 112 4.1.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла .......................................................................... 112 4.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла .......................................................................... 113 4.1.3. Метод непосредственного интегрирования .................. 114 4.1.4. Метод замены переменной ............................................. 115 4.1.5. Метод интегрирования по частям .................................. 116 4.1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен ....................................................... 118 4.1.7. Интегрирование рациональных дробей ........................ 119 4.1.8. Интегрирование тригонометрических функций .......... 122 4.2. Определенный интеграл ....................................................... 126 4

Стр.4

4.2.1. Понятие определенного интеграла ................................ 126 4.2.2. Свойства определенного интеграла ............................... 128 4.2.3. Формула Ньютона-Лейбница ......................................... 129 4.2.4. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле ................................................. 130 4.3. Геометрические приложения определенного интеграла . 132 4.3.1. Вычисление площади плоской фигуры ......................... 132 4.3.2. Вычисление объемов тел вращения .............................. 133 4.4. Применение интегрального исчисления в экономике ....... 134 4.5. Несобственные интегралы .................................................... 137 4.6. Приближенное вычисление определенных интегралов .............................................................................. 139 Контрольные вопросы ..................................................................... 141 5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......................... 143 5.1. Понятие функции нескольких переменных ........................ 143 5.2. Частные приращения и частные производные ................... 144 5.3. Полное приращение и дифференциал функции ................. 146 5.4. Производная по направлению и градиент функции .......... 148 5.5. Экстремум функции многих переменных........................... 150 5.6. Метод наименьших квадратов ............................................. 152 5.7. Наибольшее и наименьшее значения функции в плоской области ..................................................................... 155 5.8. Экономические приложения частных производных ......... 157 Контрольные вопросы ..................................................................... 159 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................. 160 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ............... 160 6.1.1. Основные понятия ........................................................... 160 6.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши ..................................................................... 161 6.1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .................................................................... 162 6.1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............................................................... 164 6.1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ............................................................... 165 6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка ............... 167 6.2.1. Основные понятия ........................................................... 167 5

Стр.5

6.2.2. Комплексные числа ......................................................... 168 6.2.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ............................................................... 172 6.2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ...... 173 6.2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ..... 176 6.2.6. Применение дифференциальных уравнений в экономике ...................................................................... 179 Контрольные вопросы ..................................................................... 181 7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................ 183 7.1. Числовые ряды ....................................................................... 183 7.1.1. Понятие числового ряда и его сходимости ................... 183 7.1.2. Необходимый признак сходимости числового ряда…185 7.1.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов ............................................ 185 7.1.4. Знакочередующиеся числовые ряды ............................. 189 7.1.5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ....................................................................... 190 7.2. Степенные ряды ..................................................................... 191 7.2.1. Понятие степенного ряда. Радиус и область сходимости степенного ряда .......................................... 191 7.2.2. Ряды Тейлора и Маклорена ............................................ 193 7.2.3. Приближенное вычисление определенных интегралов ........................................................................ 194 7.2.4. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов ................................................................ 196 Контрольные вопросы ..................................................................... 198 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................... 200 6

Стр.6