Апология математики (1500,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 001.92:51 ББК 22.1 У77 Редактор Маргарита Савина Успенский В. А. У77 Апология математики: [сборник статей] / Владимир Андреевич Успенский. — М. : Альпина нон-фикшн, 2017. — 622 с. ISBN 978-5-91671-735-8 Математическая биология, математическая лингвистика, математическая экономика, математическая психология — математика занимает всё более важное место во всех областях знаний. А между тем у многих гуманитариев сохраняется страх перед этой «царицей наук», как называл её М. В. Ломоносов. Но математика — это отнюдь не только цифры, теоремы и вычисления. Известный математик, лингвист и популяризатор науки Владимир Андреевич Успенский сравнивает математику с искусством в её способе познания мира. Сборник статей «Апология математики» автор замышлял не для специалистов, а для «просвещенных дилетантов». Доступно и увлекательно он рассказывает о роли математики в современном мире, о её проблемах, о параллелях с гуманитарными науками. Новое издание книги расширено и дополнено публикациями последних лет. УДК 001.92:51 ББК 22.1 Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. По вопросу организации доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru ISBN 978-5-91671-735-8 © Успенский В., 2017 © Издание на русском языке, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2017

Стр.3

Содержание Предисловие ко второму изданию ............................................... 7 Предисловие к первому изданию .................................................. 9 Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире» ...........................................13 Математическое и гуманитарное: преодоление барьера .......................................................................22 Апология математики, или О математике как части духовной культуры .......................................................73 Глава 1 Ватсон против Холмса...................................................................73 Глава 2 Теорема Пифагора и теорема Ферма ........................................83 Глава 3 Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые ...............107 Глава 4 Длины и числа.............................................................................. 136 Глава 5 Квадратура круга ........................................................................ 141 Глава 6 Глава 7 Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества ................................................................ 156 Глава 8 Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике ......................................................... 178 3 Массовые задачи и алгоритмы ................................................ 149

Стр.4

СОДЕРЖАНИЕ Глава 9 Проблема на миллион долларов ............................................. 205 Глава 10 От метрической геометрии к геометрии положения ....... 213 Глава 11 От геометрии положения к топологии ................................. 246 Односвязность ........................................................................ 247 Многообразия ........................................................................ 249 Гомеоморфизмы, гомеоморфия, топология .................. 259 Изотопия .................................................................................. 269 Так что же такое гомеоморфия? ....................................... 272 Ещё о многообразиях ........................................................... 277 Глава 12 Какой може т оказаться наша Вселенная? ......................... 282 Приложение к главе 1 Мнение читателя ......................................................................... 301 Приложение к главе 3 К истории проблемы Гольдбаха .............................................. 304 Список литературы к приложению к главе 3 ................ 322 О понятиях ‘множество’, ‛кортеж’, ‛соответствие’, ‛функция’, ‛отношение’ ................................................................. 324 Множество ................................................................................... 324 Кортеж ............................................................................................ 327 Соответствие ................................................................................ 329 Функция ......................................................................................... 331 Отношение .................................................................................... 338 Из книги «Что такое аксиоматический метод?» ................. 340 §1. Что такое аксиомы? ............................................................. 340 §2. Аксиомы Евклида ................................................................. 343 §3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта ...................................... 350 4

Стр.5

СОДЕРЖАНИЕ §15. Аксиомы метрики и аксиомы меры .............................. 356 Заключительные замечания .................................................... 362 Простейшие примеры математических доказательств ... 364 §1. Математика и доказательства .......................................... 364 §2. О точности и однозначности математических терминов ....................................................................................... 370 §3. Доказательства методом перебора ...................................374 §4. Косвенные доказательства существования. Принцип Дирихле ....................................................................... 378 §5. Доказательства от противного ......................................... 381 §6. Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска ................................................... 384 §7. Индукция ................................................................................ 394 §8. Алфавиты и буквы. Слова и строки. Взаимно однозначные соответствия и мощность. Диагональный метод.................................................................. 409 §9. Задачи из элементарной комбинаторики ......................415 §10. Счётные и несчётные множества ...................................419 §11. Представление о математических доказательствах меняется со временем ............................... 430 §12. Два аксиоматических метода — неформальный и формальный .............................................................................. 437 §13. Теорема Гёделя .................................................................... 447 Семь размышлений на темы философии математики .... 450 1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? ........................................................................... 450 2. Можно ли определить понятие натурального числа? .....455 3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? ................................................................ 459 4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)? ............................ 463 5. «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» ................................ 484 5

Стр.6

СОДЕРЖАНИЕ 6. Что такое доказательство? ................................................... 496 7. Можно ли сделать математику понятной? ...................... 517 Литература .................................................................................... 521 Приложение. Проблема континуума и языки второго порядка .......................................................................................... 524 Математика языка .......................................................................... 528 О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка .................... 537 Опыт применения математики к филологии. Анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского ........................ 543 А. Н. Колмогоров: статья для «Философской энциклопедии» .............................................................................. 568 Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую ..............................................................................574 Приложение I. А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики .............................................. 577 Приложение II. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда .................................................................... 607 Сведения о предыдущих публикациях статей ......................617

Стр.7