УДК 531.38
DOI: 10.18698/2308-6033-2021-5-2076
Нелинейные колебания поверхности раздела
двух жидкостей при угловых колебаниях бака
© Вин Ко Ко, Ян Наинг У
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Развитие ракетно-космической техники привело к широкому использованию криогенных
жидкостей, вследствие чего было предложено создать некоторый запас
криопродукта, одновременно находящегося в двухфазном или трехфазовом состоянии,
образуя при этом слои жидкости, для увеличения их срока хранения на борту
космических аппаратов или в танкерах будущих космических заправочных станций.
Рассмотрена задача в нелинейной постановке о колебаниях поверхности раздела
двухслойной жидкости в произвольной осесимметричной полости твердого
тела, совершающего угловые колебания вокруг горизонтальной оси. Для рассматриваемого
класса полостей с произвольным дном и крышкой нелинейная задача
сведена к последовательному решению линейных краевых задач. Получены нелинейные
дифференциальные уравнения, описывающие колебания поверхности раздела
двух жидкостей в окрестности основного резонанса. В случае круговой цилиндрической
полости с плоскими днищами решения краевых задач в виде
цилиндрических функций использовали для вычисления линейных и нелинейных гидродинамических
коэффициентов в зависимости от глубины и плотности верхней
жидкости.
Ключевые слова: механическая система, цилиндрическая полость, гидродинамические
коэффициенты, основной резонанс, возмущенная поверхность, вращательное
движение.
Введение. Нелинейные задачи динамики ограниченного объема
слоистых жидкостей c поверхностью раздела представляют значительный
прикладной и теоретический интерес. Подобным задачам
посвящено большое число работ, опубликованных в ХХ и ХХI вв.
Из основных работ прошлого столетия отметим основополагающие
труды Л.Н. Сретенского [1], Л.Д. Ландау [2], в которых изложены
основные сведения и методы исследования колебаний двух жидкостей,
и [3, 4], где исследуется задача о колебаниях двухслойной
жидкости. В [3] рассмотрена новая нелинейная задача о распространении
волновых пакетов в системе «жидкий слой с твердым дном —
жидкий слой со свободной поверхностью» и получены решения первых
двух линейных приближений, а также условия разрешимости
второго и третьего линейных приближений. В [4] теоретически и
экспериментально исследованы поверхностные и внутренние сейши
в прямоугольном наклонном бассейне, заполненном двухслойной
жидкостью. В рамках линейной теории мелкой воды выполнены расчеты
в одномерной постановке в предположении длинного и узкого
водоема.
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2021
1
Стр.1
Вин Ко Ко, Ян Наинг У
Среди современных работ отметим те, что опубликованы в российских
источниках [5–10]. Так, в [5] приведено экспериментальное
изучение динамики границы раздела двух несмешивающихся жидкостей
различной плотности в горизонтальной цилиндрической полости
при вращении. В [6] анализируется задача о малых движениях и
нормальных колебаниях системы из двух тяжелых несмешивающихся
стратифицированных жидкостей, частично заполняющих неподвижный
сосуд. В [7] рассмотрен эффект влияния верхнего слоя вязкой
жидкости на колебания двухслойной жидкости в прямоугольном
сосуде.
В [8] выведены частотные уравнения собственных колебаний
двухслойной жидкости в прямом круговом цилиндре с мембранами,
расположенными на свободной и внутренних поверхностях жидкости.
В [9, 10] исследованы проблемы течений стратифицированных и
вращающихся жидкостей и регуляризация баротропных гравитационных
волн в двухслойной жидкости в прямоугольном сосуде. В работах
[11–13] представлены малые колебания двух- и трехслойных
жидкостей в полостях различной формы для случаев подвижного и
неподвижного твердого тела. При проведении экспериментов
с жидкостями, полностью заполняющими круглый цилиндрический
бак, вблизи основного резонанса было замечено вращательное движение
слоев жидкостей, подобное движению свободной поверхности
однородной жидкости.
Особенности нелинейных колебаний однородной жидкости, частично
заполняющей полость подвижного и неподвижного твердого
тела, показаны в [14–16]. В случае полного заполнения полости одной
однородной идеальной несжимаемой жидкостью фундаментальные
результаты получены Н.Е. Жуковским [17]. В [18] исследуются
нелинейные задачи динамики жидкости в резервуарах нецилиндрической
формы.
Из примыкающих к рассматриваемой задаче работ, опубликованных
за рубежом, отметим статьи по нелинейным колебаниям двухслойной
жидкости [19–24], в которых проведено теоретическое и
экспериментальное исследование плесканий двух жидкостей при
наличии свободной поверхности и без свободной поверхности.
В [25, 26] были изучены нелинейные эффекты колебания двухслойной
жидкости, полностью заполняющей ограниченный объем, и
в результате построены области неустойчивости вынужденных колебаний
двухслойной жидкости в цилиндрическом баке.
Цель настоящей статьи — получить и провести анализ нелинейных
уравнений движения поверхности раздела двух жидкостей, заполняющих
полностью осесимметричную полость твердого тела, совершающего
угловые колебания вокруг неподвижной оси. Краткое
2
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2021
Стр.2
Нелинейные колебания поверхности раздела двух жидкостей при угловых колебаниях…
содержание работы изложено в тезисах докладов 11-й Международной
конференции «Волны и вихри в сложных средах».
Постановка задачи. Рассмотрена произвольная осесимметричная
полость твердого тела, полностью заполненная двумя несмешивающимися
жидкостями, которая совершает малые колебания вокруг
горизонтальной оси. Считаем, что форма области, занимаемой жидкостями
в районе невозмущенной цилиндрической поверхности раздела,
близка к цилиндрической. К этому классу полостей можно отнести
все цилиндрические баки с коническими, эллиптическими,
сферическими, плоскими и другими днищами. Движение твердого
тела вокруг горизонтальной оси зададим с помощью угловой координаты
, а вектор угловой скорости вращения 2ω относительно оси
представим в виде 22 θ() θ cos ,tp
ωθ ,
e
0
тор соответствующей оси (OX, OY, OZ).
Введем систему координат
Ug r , R He r ,
1
где H — расстояние от оси вращения до невозмущенной поверхности
раздела жидкостей 0; g — вектор ускорения свободного падения
(рис. 1).
t где e — единичный векOxyz
, в которой поле массовых сил,
действующих на твердое тело с двумя жидкостями, имеет потенциальную
функцию
Рис. 1. Системы координат и основные
обозначения для движущегося тела с двухслойной
жидкостью:
i ,
j — единичные векторы для осей OX
и OY соответственно; f — функция (отклонение
поверхности раздела); h0, h1, h2 — расстояния
вращения твердого тела
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2021
3
Стр.3
Вин Ко Ко, Ян Наинг У
теме координат ,, ,x r
формулами:
Рассматриваемую задачу удобно решать в цилиндрической сиссвязанной
с декартовой ,,x yz следующими
X ,Hx cosη, zr sin η.
yr
Жидкости с плотностями 1 и 2 предполагаются идеальными и
несжимаемыми. Смоченные поверхности полости обозначены через
()(1, 2),
Skk
ность раздела жидкостей обозначена через (см. рис. 1).
Движения каждой жидкости — потенциальные и удовлетворяющие
уравнениям Лапласа:
2(1) 0
в 1 , 2(2) 0
в 2.
следующим граничным условиям:
а) условиям непротекания на смачиваемых поверхностях 1,S
ω2()
d R
(1)
d
dd
dd t
ω ()
1
(2)
2 R
ρρ 1 ρ () ρ ()
2
21 2
Здесь
0
R Ri f
верхности раздела;
функции (, );
,
21 1222RR gr
x ; rr xi
(2)
(1)
,
0
f
(1)
tt
1
(2) 2
(1) 2
f
N
для
для 1,S
d
ω2()
R
(2)
d
для 2;S
б) кинематическим условиям на поверхности раздела
(1)
при x 0 на ;
в) динамическим условиям на возмущенной поверхности раздела
(2)
ρ () ρ () (ρρωω ).
(3)
f (, )fy z — отклонение поix
— единичный вектор для x; — градиент
f yz — внешняя нормаль, соответствующая границе
f yz
области, занимаемой жидкостями; — вектор внешней нормали, соответствующей
границе области, занимаемой жидкостями;
1( 2)
каждой жидкости в виде следующей суммы:
()
(, ,η,) ω2
xr t A xr
4
kk ii (
()
(, ,η)( )t B xr, η),
i 1
( )
k
,
k 1, 2,
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2021
(4)
(2)
(1)
Потенциалы скоростей (1) и (2) должны также удовлетворять
S 2
где k — количество жидкостей; возмущенная поверхNf
f — модуль градиента функции (, ).
Представление решения. Представим потенциалы скоростей
Стр.4
Нелинейные колебания поверхности раздела двух жидкостей при угловых колебаниях…
где ()k — потенциалы скоростей верхней и нижней жидкости;
A ()k — гармонические скалярные функции; ()k
Bi — функции координат
верхней и нижней жидкости; i — обобщенные координаты волновых
движений жидкостей i-й гармоники на поверхности раздела.
Здесь и в дальнейшем суммирование по i проводится по натуральному
ряду чисел от единицы до бесконечности. Верхние индексы
параметров (1) и (2) относятся к верхней и нижней жидкости соответственно.
Решение
поставленной нелинейной задачи в значительной степени
опирается на разложение функций в ряд Тейлора и использование
значений функций и ее нормальных производных на невозмущенной
поверхности раздела жидкостей 0. Для любой гладкой функции
(, , η,),
Fx r t определенной на отклоненной возмущенной поверхности
раздела жидкостей , имеем
FF FF F
0 00
x xx
0
f
f
Представим функции ()kA и ()k
0
ii
рам αi до второго порядка включительно [14, 15]:
()
A k AA A ... ;
(
()
ααα
)()kk k
ii j
i j ij
BB B ij ij
() ()
kk k( )
Здесь функции ()
A0 ,k
Ai
(),k
Aij
jj k
(),k
()
Bi0 ,k
i0 ααα ... .
()
j
Bij
k
kBijk
(),k
11 ... .
26
2323
23
f
Bi в виде разложения по парамет(5)
(6)
()k
Bijk
зависят только от
пространственных координат и не зависят от времени.
Подставляя разложения (5), (6) в (4) и приравнивая выражения
при одинаковых степенях параметров α (),
i t после некоторых преобразований
получим шесть линейных краевых задач:
0,
A k
2( )
0
Ai
d
d
A
()
0
k
k 2( ) 0,
Sk 0
()
dA
d
i
k
Sk
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2021
5
R j() ;
0;
(7)
Стр.5