УДК 532.65:51-37
DOI: 10.18698/2308-6033-2021-3-2060
Исследование равновесной свободной поверхности
капиллярной жидкости в тороидальном сосуде
© Юй Чжаокай, А.Н. Темнов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрена осесимметричная задача об определении форм равновесия жидкости
в тороидальных баках космических аппаратов в условиях, близких к невесомости.
При отсутствии значительных массовых гравитационных сил поведение
жидкого топлива в баках начинают определять силы поверхностного натяжения,
представляющие собой межмолекулярные силы на границе двух фаз. На основе
принципа стационарности потенциальной энергии получены условия равновесия
замкнутой системы жидкость — газ — твердая стенка в условиях микрогравитации.
Приведены система дифференциальных уравнений, определяющая форму
равновесия жидкости в тороидальных баках, условие Дюпре — Юнга, условие соприкосновения
свободной поверхности с твердой стенкой и условие сохранения
объема жидкости. Количественно оценено влияние различных параметров, таких
как угол смачивания, число Бонда, соотношение радиусов осевой окружности
и окружности меридиана тора и относительный объем заполнения баков жидкостью,
на форму равновесия капиллярной жидкости. Проведенное исследование
форм равновесия жидкого топлива позволяет разработать рекомендации по проектированию
заборных устройств топливных баков в ракетно-космической технике.
Полученная равновесная поверхность представляет собой невозмущенную
границу области, занимаемой жидким топливом, и поэтому является необходимой
информацией для дальнейшего исследования динамики космических аппаратов.
Ключевые слова: капиллярная жидкость, тороидальный сосуд, равновесная свободная
поверхность, метод Рунге — Кутты
Введение. В условиях космического полета возникают проблемы
обеспечения надежного питания двигателя топливом. Проблемы связаны
с необходимостью многоразового включения двигателя и могут
возникать как в условиях невесомости, так и при отрицательных и
боковых перегрузках, а также в случаях импульсного режима работы
двигателей. Для решения подобных проблем необходимо знать положение
равновесной свободной поверхности капиллярной жидкости.
Анализ приведенных в работах [1–7] методов теоретического
исследования равновесных капиллярных поверхностей показывает,
что в современной гидродинамике недостаточно разработаны методы
численного моделирования равновесия двухсвязных, несвязных,
а также сильно искривленных односвязных капиллярных поверхностей.
В работе [8] подробно рассмотрено решение задачи о равновесии
капиллярной жидкости в сосуде, имеющем форму коаксиального цилиндра,
на основе метода Рунге — Кутты — Фельберга. Работа [9]
посвящена осесимметричной задаче об эволюции свободной поверхИнженерный
журнал: наука и инновации # 3·2021
1
Стр.1
Юй Чжаокай, А.Н. Темнов
ности жидкости по мере заполнения емкости тороидальной формы
при невесомости с применением итерационно-разностного подхода.
Исследование формы равновесия капиллярной жидкости в тороидальных
сосудах актуально, так как тороидальные баки, в связи с их
преимуществами в компоновке, все больше применяются в космических
аппаратах.
Постановка задачи. Введем цилиндрическую систему координат
Or ,z начало координат O и ось Oz которой приведены на рис. 1.
Используем длину дуги s для описания формы свободной поверхности
жидкости и угол θ для описания поверхности твердой стенки
сосуда.
Рис. 1. Расчетная схема для определения форм равновесия жидкости
в тороидальном сосуде
Топливные емкости представляют собой замкнутую механическую
систему жидкость — газ — твердая стенка. Пренебрегая плотностью
потенциала массовых сил газа, запишем выражение для потенциальной
энергии системы с учетом поверхностного взаимодействия:
Ux d
,
12 12
где 12 23 13, ,
23 23 13 13
— коэффициенты поверхностного натяжения на
границах разделов газ — жидкость, жидкость — твердая стенка и
газ — твердая стенка соответственно;
ответствующих поверхностей; — плотность жидкости; x
12 23 13, ,
— площади соgz
—
плотность потенциала массовых сил жидкости; — объем, занимаемый
жидкостью.
Материал стенок топливной емкости, жидкость и газ будем считать
однородными, т. е. коэффициенты 12 23 13, , — постоянные
величины.
2
Инженерный журнал: наука и инновации # 3·2021
Стр.2
Исследование равновесной свободной поверхности капиллярной жидкости…
Согласно принципу стационарности потенциальной энергии, сис0
тема
находится в равновесии только тогда, когда U для всех допустимых
вариаций свободной поверхности 12, сохраняющих условия
несжимаемости и непротекания жидкости на твердой стенке:
12 12
x
dn x d () 0; n23 ,
12
n13
x
0
ex d H12 12(n x d 12;
12 () 2
12
12
23
)
13 ex d() ,
23
где γ — линия трехфазного контакта; H 12 — средняя кривизна поверхности
12Σ .
Вариация потенциала массовых сил
xd
12
Согласно правилу неопределенных множителей Лагранжа, примененному
к условию несжимаемости, существует такая постоянная ,c
что для всех ,x удовлетворяющих только одному условию непротекания,
имеем [1, 2]
() 12 0.
Uc n x d
12
системы примет вид
12
2( )
12
23 13
0
12 cos ( 23
12
12 12
xc H n x d
ex d
) 0,
(1)
где 0 — угол смачивания жидкости на твердой стенке.
Из вариационной постановки задачи равновесия (1) вытекают
условия равновесия гидромеханической системы газ — жидкость —
твердая стенка:
Инженерный журнал: наука и инновации # 3·2021
3
12
Таким образом, вариационная постановка задачи равновесия
x n x d() 12.
12
23 13
где δx — вектор малого смещения точек поверхности 12Σ .
По формуле Гаусса имеем следующие соотношения:
Стр.3
23 13
12 cos
0
xc 20 12 ;
Юй Чжаокай, А.Н. Темнов
H12
12
0
.
ности и может быть записано в безразмерной форме:
12
где Н 12 0 ;Hr
Bo 012/ gr
2 12 Hgz с 2Bo ,
2
Н z С
(2)
(3)
Равенство (1) играет роль дифференциального уравнения поверх(4)
—
число Бонда, характеризующее
соотношение массовой силы и силы поверхностного натяжения;
zz / 0r (в дальнейшем черту в обозначении безразмерных координат
будем опускать).
Задача о нахождении формы равновесной поверхности сводится к
построению решения уравнения (4) при граничном условии Дюпре —
Юнга и условии сохранения объема жидкости. Случай Bo 0 приводит
к известной в дифференциальной геометрии задаче об изучении
поверхности с постоянной средней кривизной.
Для применения численного метода Рунге — Кутты преобразуем
уравнение (4) в систему дифференциальных уравнений первого порядка
и будем считать далее все величины безразмерными:
rs u s
zs v s
Boz s C .
vs u s
rz
vs
rs
Начальные условия имеют следующий вид:
uv θ ,
θ ;0 sin
0cos 01
где 00
стенкой
inθ ; 0 co ;sθ
0
1
/.R r
Условия соприкосновения свободной поверхности с твердой
ls rs z s00 0 2
() () () 1,
4
2
где l — расстояние между центром малого круга и линией смачивания.
Инженерный журнал: наука и инновации # 3·2021
0s 11
;
;
us v s
vs
rs
Boz s C
;
Стр.4