2017 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК УДК 517.956.27+517.958:531.33 С.А. Назаров Асимптотика матрицы рассеяния вблизи краев спектральной лакуны Изучено поведение матрицы рассеяния при приближении спектрального параметра к краю лакуны, изнутри или извне, в спектре квантового волновода, содержащего два рукава – цилиндрический и периодический. <...> Прохождение спектрального параметра через лакуну в спектре приводит к перестройке матрицы рассеяния, так как количества волн внутри и вне лакуны различны. <...> Тем не менее меньшая по размеру матрица рассеяния непрерывно трансформируется в идентичный блок большей матрицы рассеяния, которая к тому же в пределе на краю лакуны, т.е. на пороге спектра, становится блочно-диагональной. <...> Доказано, что предел этого блока на пороге может принимать только определенные значения, причем выбор того или иного значения определяется как строением непрерывного спектра, так и структурой подпространства “почти стоячих” волн на пороге – решений однородной задачи, не переносящих энергию на бесконечность. <...> Полученные асимптотические формулы, в частности, показывают, что эффект аномального рассеяния высокоамплитудных волн на околопороговых частотах, обнаруженный Л.А. Вайнштейном в частной акустической задаче, сохраняется и в периодических волноводах. <...> По стандартной схеме из волн (1.5) сооружаются сингулярные последовательности Вейля, которые вместе с классическим результатом о параметриксе из [1] (см. также [2; гл. <...> В определении спектральных сегментов (1.7) фигурируют параметр Флоке η (двойственная переменная преобразования Гельфанда) и положительная монотонная неограниченная последовательность собственных чисел 0 <M1(η) M2(η) M3(η) · · ·→+∞ (1.8) 1Согласно результатам работы [1] (см. также [2; гл. <...> Функции η → Mm(η) являются 2π-периодическими и непрерывными, т.е. (1.7) – компактные связные множества, сегменты, а в их определении можно считать, что η ∈ (−π,π]. <...> Если λ = Mm(ηm) при некоторых m ∈ N и ηm ∈ (−π,π], то собственная <...>