ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2017, том 475, № 5, с. 487–489
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Представлено академиком РАН Б.С. Кашиным 28.01.2017 г.
© 2017 г.
А. Д. Баев*, В. В. Панков
Поступило 06.03.2017 г.
В работе исследованы задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого
порядка, которые вырождаются на границе полосы в уравнение нечётного порядка. Получены
коэрцитивные априорные оценки и теоремы о существовании и единственности решений таких
задач в специальных весовых пространствах типа пространств С.Л. Соболева. Нормы в этих пространствах
определяются с помощью специального интегрального преобразования.
DOI: 10.7868/S0869565217230013
Теория вырождающихся эллиптических уравнений
в настоящее время интенсивно развивается.
Такие уравнения описывают математические
модели, в которых граница области оказывает
существенное влияние на процессы, происходящие
вблизи границы. В этом случае на границе
области может меняться как тип уравнения,
так и его порядок. В работе рассматриваются
эллиптические уравнения порядка m
2,
вырождающиеся на границе в уравнение порядка
−=
21(1,2, ..., 22 1) по одной из пеkk
mk
>−
ременных.
Краевые задачи для таких уравнений
относятся к неклассическим задачам математической
физики. Одна из главных трудностей, возникающих
в теории вырождающихся эллиптических
уравнений, связана с влиянием младших
(в смысле теории регулярных эллиптических операторов)
членов уравнения на постановку граничных
задач и их коэрцитивную разрешимость.
уравнений высокого порядка при “степенном” характере
вырождения было начато в [1]. В работах
А.Д. Баева [2, 3] были получены априорные оценки
и теоремы о существовании решений некоторых
краевых задач для вырождающихся эллиптических
уравнений высокого порядка при произвольном
сильном характере вырождения. При
этом, в отличие от работы [4], не требуется, чтобы
основная весовая функция α t() принадлежала
пространству ∞
CR
()
1 . В частности, в [3] были
исследованы краевые задачи для эллиптических
Воронежский государственный университет
*E-mail: alexsandrbaev@mail.ru
уравнений высокого порядка, вырождающихся
на границе области в уравнение чётного порядка.
Краевые задачи в полосе для эллиптических
уравнений высокого порядка, вырождающихся
на границе =t 0 в уравнение третьего
порядка по одной из переменных, были изучены
в [5, 6].
В настоящей работе получены коэрцитивные
априорные оценки в специальных весовых пространствах
и теоремы о существовании и единственности
решений краевых задач в полосе для
эллиптических уравнений высокого порядка,
вырождающихся на границе =t 0 в уравнение
нечётного порядка по одной из переменных.
Рассмотрим в полосе Rx Rt d{, 0},
d
Исследование вырождающихся эллиптических αα −− ∂ −vv 21v,
k
где AD DL DD b
τ
LDDaDD ,ατ α
τ+ ≤2
2, = ∑
Dα,tt t Di ...
=α ∂α ∂= ∂
∂
вида
i tt t
1 () (),,
x
1
1
2
2
jm
ные числа, Im ba02m 0,=
τ =∂ ∂∂τ ττ τ
BD
jx t() vv (),
τ≤mj
=0
=∂ =
=
∑ bD
τjx t
τ−j
jk
1
1,2,..., ,
с комплексными коэффициентами b .jτ
487
t=0 Gxj
Dα,tt t
xx xn
n
−
−
1
1
.
На границе =t 0 полосы Rd
n задаются условия
(2)
=α ∂α ∂= ∂
∂
i tt t
1 () (),,
mx tjxt
j
(, ,)xt tm xt,2 ,(, )( 1)k
(, ),ba τ,
xt t
∂=
,
t
j – комплексnn1=∈
<<−
где >d 0 – некоторое число, уравнение
AD DxtF xt
(, ,)v(, )( ,),
α ∂=
(1)
Стр.1
488
На границе =
вида
БАЕВ, ПАНКОВ
td полосы Rd
n задаются условия
vv 1vtd
m−
td =∂ ==∂=0.
==t td
...
t
=
Пусть выполнены следующие условия.
Ус л о в и е 1. При всех
во неравенство Re bL2m(, )(1),m22
ξη ≥+ξ+ η
постоянная >c 0 не зависит от (, ).ξη
Ус л о в и е 2. Для некоторого ≥+
(0)'(0)0,( )0 при >t 0.
Ус лов и е 3. ∑ ξ≠ =
bj k, при
τj
всех ξ∈ R .n 1−
τ≤mj
которое на функциях
записано в виде
Fututi ddt
ρ
+∞
α[( )]()
η= ∫
0
()exp η∫ ()
t αρ
которое можно записать в виде
η=
Fw t
−11
α [( )]()
1
α()t
d
α
Рассмотрим интегральное преобразование αF ,
∈ ∞
ut CR() ()0
1 может быть
+
()t
.
Это преобразование было введено в [7], для него
можно построить обратное преобразование αF−1 ,
Fwη[( )]
η→τ
−
τ=ϕ()t
,
τ
0,
1, 2, ...,
функция α t() принадлежит Cd причём
α=α= α>t
s [0,],
−1
≤≤
(, )ξη ∈ справедлиc
R
n
где
sm
m2max()
1 jk j
(3)
где
τ=ϕ= ρ
αρ η→τ
(t)
разование Фурье. Кроме того, для преобразоt
(),
d
∫
d
вания αF доказан аналог равенства Парсеваля,
что даёт возможность рассмотреть это преобразование
не только на функциях из
LR +
ям uu
js
что если ut Cd() []∈
() ()
s 0,
во равенство FD uF uα []() при всех
= 0,1,..., . С помощью преобразования αF были
αα η=ηη
jj
, ()
t
построены псевдодифференциальные операторы
с вырождением. Исследование таких псевдодифференциальных
уравнений позволило получить
априорные оценки и теоремы о существовании
граничных задач в полупространстве для новых
классов вырождающихся уравнений (cм. [8, 9]).
Введём пространства, в которых будет изучаться
задача (1)–(3).
Оп р е д е л е н и е 1. Пространство
v
(, )( ),d
n
∈ 2
s,, 2 ()
HR
α −
m
21
k
( ≥s 0 – целое число) состоит из тех функций
xt LR
для которых конечна норма
vv ,
s,, 2m
α −
k
где ks
m
(2
2
Здесь →ξFx
−1)
=+ξ+η∂
21
−
=
(2 1)
2
ks
m
∑ FF (1 )[ (, )]
l 0
ξ→
−
11 22
x α
−
( ξ→
F−
– целая часть числа ks
1 ) – прямое (обратное) преобра(2
x
зование
Фурье. Если s – натуральное число, такое,
что число
(2
ks
m
2 является целым числом,
−1)
то эта норма эквивалентна следующей норме:
vv .
2()
s,, 2m
α −
k
=∂
21
τ+ + − ≤
j m
k ls
∑2
21
DDα,
τ
xt
j
t
l
LR
d
n
1
2
2m
− .
1)
1
2
− −
2
s m
k l
21
FF
α→ξ
xt
l
xt
LR
Обозначим через HR −
⋅ s .
2()
d
n
2
s()
n 1 пространство Соболева–Слободецкого,
норму в котором обозначим
через
Справедливы следующие теоремы.
Те о рем а 1. Пусть
sm mj≥+ +
k −
max2 ,max
≤≤
1 jk
есть целое число, ≥−
mk
2( −mj 1)
21 21
k −
m
21 и выполнены условия 1–3.
принадлежащего пространству HR
α 21
m
справедлива коэрцитивная априорная оценка
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 475 № 5 2017
k−
Тогда для любого решения xtv(, ) задачи (1)–(3),
s,, 2 (),
d
n
1
2
d
n
00 ... 00,tt
s 1
=∂ ==∂=
−
и удовлетворяет услови()
2()
1
, но
и на некоторых классах обобщённых функций.
Из определения преобразования αF следует,
то справедлиF
−1
– обратное преоб
Стр.2
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ...
mk
v s,, 2m ≤
α −
21
k
≤+
cAvv0
21
sm m
k
−α − ∑ Bj
2, , 2
j=1
k
t sm mj
k
j
= −− −
− − −
2( 1)
21 21
m
k
мы 1
j
для
любых Fx tH(,)( ),
2, , 2
∈
sm m
k
−α −
d
n
21
Gx HR()
−− −
∈
sm mj
k
j
2( 1)
21 –21
−−
k
ственное решение задачи (1)–(3), принадлежащее
пространству HR
s,, 2 ().
m
α 21
k−
Наряду с уравнением (1) рассмотрим в полосе
Rd
n уравнение
AD DxtF xt
xt t
∂=
α, ∂=
оператор LD D(, )mx t2,
вида
BD
jx t()vv (5)
τ≤mj
=0
=∂ =
=−
jk 1,
∑ bD
1, 2, ...,
с комплексными коэффициентами τb j . На границе
=
td полосы Rd
n задаются условия вида (3).
Пусть выполнены следующие условия.
У с л о в и е 4. Для некоторого ≥+
sm m2max ()
jk
≥+
≤≤ −
причём α=α= α>t
j
при всех ξ∈ R .n 1−
Справедливы следующие утверждения.
Те о р ем а 3. Пусть
sm m mj
k
≥+ −
−
max2 ,max
jk
11 j
≤≤ −
2( 1)
21 21
+
m
k −
11 j функция α t() принадлежит Cd
(0)'(0)0,( )0 при >t 0 .
Ус лов и е 5. bj k
τ≤mj
0,
1, 2,...,
∑ ξ≠ =−τ
τ
s [0,],
−1
1,
τjx t
τ−j 1
=
t 0 Gxj(),
(, ,)v(, )( ,),
(, ,)xt tm xt,2 ,(, )( 1)k
α определён выше.
t
(4)
где AD DL DD bαα +− ∂ −vv 21v,
k
На границе =t 0 полосы Rd
n задаются условия
d
n
m () существует единn−1
k
+∑
jB v = −− −
j
=
−
1
1
t sm mj
k
0
j
,
где постоянная >c 0 не зависит от .v
Те о р е м а 2. При выполнении условий теореR
(5),
принадлежащего пространству HR
α 21
m
k−
справедлива коэрцитивная априорная оценка
v s,, 2m ≤
≤+
cAv
α −
−α −
sm m
k
21
2, , 2
k
21
2( 1)
21 –21
m
−−
k
ремы 3 для любых Fx tH
n−1
∈
Gx HR()
−−
∈
1
s,, 2 ().
m
α 21
k−
Работа выполнена при поддержке гранта
Российского научного фонда 16–11–10125, выполняемого
в Воронежском государственном
университете.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вишик М.И., Грушин В.В. // Мат. сб. 1969. В. 79 (121).
C. 3–36.
2. Баев А.Д. // ДАН. 2008. Т. 422. № 6. С. 727–728.
sm m2max ()
jk
11 j
≤≤ −
3. Баев А.Д. // Вестн. Самар. гос. ун-та. Сер. Естеств.
науки. 2008. № 3 (62). С. 27–39.
4. Левендорский С.З. // Мат. сб. 1980. № 111 (153).
С. 483–501.
5. Баев А.Д., Бунеев С.С. // ДАН. 2013. Т. 448. № 1.
С. 7–8.
6. Баев А.Д., Бунеев С.С. // Изв. вузов. Сер. Математика.
2012. № 7. С. 50–53.
7. Баев А.Д. // ДАН. 1982. Т. 265. № 5. С. 1044–
1046.
8. Баев А.Д., Кобылинский П.А. // ДАН. 2016. Т. 466.
№ 4. С. 385–388.
9. Баев А.Д., Ковалевский Р.А., Кобылинский П.А. //
ДАН. 2016. Т. 471. № 4. С. 387–390.
d
n
,
где постоянная >c 0 не зависит от .v
Те о р е м а 4. При выполнении условий тео(,)(
),
sm m d
−α
2, ,2
R
3
sm m() существует единственное
3
решение задачи (3)–(5), принадлежащее пространству
HR
n
1, 4, 5. Тогда для любого решения xtv(, ) задачи (3)–
s,, 2 (),
d
n
есть целое число, ≥−
489
21 и выполнены условия
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 475 № 5 2017
Стр.3