ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2003, ¹ 1 УДК 517.925.52 ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ © 2003 А. И. Перов Воронежский государственный университет Методом интегральных уравнений доказывается существование ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений при условии, что линейная часть является экспоненциально дихотомической, а нелинейная подчинена подлинейной оценке с малой константой. <...> Ранее подобные результаты устанавливались либо топологическим методом Важевского (Б. П. Демидович), либо методом направляющих функций (М. А. Красносельский и А. И. Перов). <...> В теории нелинейных колебаний, наряду с периодическими и почти-периодическими решениями, изучают также широкий класс так называемых ограниченных решений, потому что не всегда установившиеся решения описываются периодическими или даже почти-периодическими функциями. <...> Прежде всего, он исторически был первым, это метод интегральных уравнен и й , основанный на изучении интегральных операторов в различных функциональных пространствах (подробнее об этом см.: для периодических решений [11], для почти-периодических решений [6], для ограниченных решений [1]; см. также [9], [10], [12]). <...> С другой стороны, здесь с успехом могут быть применены и методы, базирующиеся на изучении поведения интегральных кривых или фазовых траекторий в конечномерных пространствах: топологический метод Важевского, предложенный им в 1947 г. [13], и метод направляющих функций, опубликованный Красносельским и Перовым в 1958 г. [4]. <...> В настоящей статье предлагается, как нам кажется, новый прием доказательства существования ограниченных решений, идейно примыкающий к методу интегральных уравнений. <...> Трудность, которая здесь возникает и с которой знакомы все, работающие в этой области, состоит в том, что интегральный оператор, возникающий в задаче об ограниченных решениях, не обладает свойством компактности <...>