№2 Дадим теперь определение обобщенной чезаровской производной порядка k с произвольным ядром усреднения. <...> Тогда для любой Ck−1P-интегрируемой в окрестности точки x функции F определим ее чезаровское среднее с ядром ϕ на отрезке [x,x+h] следующим образом: CϕF(x;x+h)= 1 h x+h x ϕt−x h F(t) dt. <...> В этом случае для всякой Ck−1P-интегрируемой функции F, определенной на отрезке [x,x+h], величина Cϕ∆F(x;x+h)= CϕF(x;x+h)−F(x) αh называется чезаровским приращением с ядром ϕ функции F на [x,x+h] и определяются величины Cϕ∆F(x;x+h),CϕD−F(x) = lim Cϕ∆F(x;x+h), CϕD+F(x) = lim h→0+ CϕD+F(x)= lim h→0+ CϕDF(x) = lim h→0 CϕD+F(x) = lim h→0+ h→0− Cϕ∆F(x;x+h),CϕD−F(x)= lim Cϕ∆F(x;x+h), h→0− Cϕ∆F(x;x+h),CϕDF(x)= lim h→0 CϕDF(x) = lim h→0 Cϕ∆F(x;x+h), ϕ(s)= ϕ(1 − s),то ϕ будет называться симметричным ядром; в этом случае, очевидно, нормировочная константа α всегда будет равна 1/2. называющиеся производными числами с ядром ϕ функции F в точке x. <...> Покажем, что любое неотрицательное ядро усреднения порождает определение Ck-производной во всяком случае более общее, чем классическая производная. <...> Если ϕ — любое неотрицательное ядро усреднения любого порядка и функция F непрерывна в окрестности точки x,то CϕDF(x) F(x). <...> Установим несколько теорем, показывающих преимущества симметричных ядер усреднения перед несимметричными. <...> Будем говорить, что функция F принадлежит классу [VBG] на отрезке [a, b], если [a, b <...>