Тогда забывающий функтор PL: K→Lin дает оснащение для K. <...> Строго проективными банаховыми модулями являются проективные объекты в точности открытые морфизмы. <...> Согласно теореме Банаха, всякий сюръективный оператор между банаховыми пространствами открыт. <...> Поэтому если морфизм ϕ является ретракцией в Lin, то он открыт. <...> Обратно: открытый морфизм сюръективен и поэтому является ретракцией в Lin. <...> P Применительно к нормированным модулям последнее предложение неверно. <...> Например, подпространство финитных последовательностей l0 рой), а морфизмами — (некоторые) ограниченные отображения. <...> Забывающий функтор PB : K→ Born задает оснащение для K. <...> В категории нормированных модулей (A−mod,PB) проективными объектами ективно, однако не является проективным в (A−mod,PL). <...> Это вынуждает нас искать другое оснащение для A−mod. <...> Пусть объектами категории K являются борнологические пространства (с дополнительной структу1(N), рассмотренное как модуль над нулевой алгеброй, строго прообразом, существует ограниченное отображение S: PBF → PBE, такое, что (PBT)S =1F . <...> Пусть BF — единичный шар в F и S(BF ) покрывается шаром радиуса являются строго проективные модули и только они. <...> Пусть T : E → F — допустимый эпиморфизм нормированных модулей. <...> Возьмем произвольный ненулевой вектор y ∈ F.Положим x = yS y . <...> Пусть морфизм S: PBF → PBE отображает y в x.Тогда S — правый обратный к T в Born,т.е. T — ретракция в Born. <...> Пусть Y — нормированное пространство, Λ — произвольное множество, E = 1(Λ) обозначим нормированное подпространство l1(Λ), 1(Λ) существует алгебраический базис, со{yλ ∈ Y,λ ∈ Λ} — подмножество в Y , индексированное элементами Λ. <...> Тогда 1) существует единственный непрерывный оператор ψ: l0 рывный морфизм ψ: A+ ⊗p l0 При этом в обоих случаях ψ =sup любого λ ∈ Λ; 2) пусть Y вдобавок нормированный модуль над алгеброй A. <...> 1, рассмотрим непрерывный оператор ψ0 : l0 yλ для всех λ ∈ Λ. <...> Поскольку A+ ⊗p l0 единственный морфизм ψ: A+⊗p l0 модуль A+ ⊗p l0 борнологию. <...> В качестве j возьмем естественное вложение E в X <...>