Предполагаем, что функция δ(s) дважды непрерывно дифференцируема при s 0, стохастические интегралы по броуновскому движению являются мартингалами, а также, что все пределы и математические ожидания перестановочны. <...> Тогда, воспользовавшись методом, предложенным в [2] для случая чистых инвестиций, можно вывести уравнение Беллмана– Гамильтона–Якоби для оптимальной вероятности неразорения: sup b0 sup A0 1 2σ2A2δ(s)+ (c(b)+ µA)δ(s)+ λE[δ(s −min{Y, b}) −δ(s)] =0 (1) с граничными условиями δ(∞)= 1 и δ(s)=0 при s< 0. <...> Функция в левой части уравнения (2), от которой берется супремум, достигает максимума по A 0 в точке A∗(s)= −σ2f(s) > 0, µf(s) поскольку f(s) < 0 при s 0 в силу строгой вогнутости. <...> Заметим, что точки A =0 и A =∞не являются точками экстремума (это легко проверить непосредственной подстановкой в (2)). <...> Наконец, заметим, что при достаточно малом начальном капитале оптимальной стратегией будет чистое инвестирование без перестрахования. <...> Действительно, в случае A(0) =0 в силу неограниченности вариаций винеровского процесса вероятность неразорения равна нулю, что неоптимально. <...> Например, при отсутствии инвестиций и перестрахования (A =0, b =∞) вероятность неразорения δ(0) = 1−λEY/c > 0 (см., например, [3]). <...> Существует строго возрастающее решение g(s) уравнения (6) на [0,∞). <...> Далее мы докажем существование решения g(s)= f(s) уравнения (6) на [0,∞). <...> Выберем теперь число α> 0, такое, что Cα +(s0 + α)α =(2L2σ2)/µ2 (заметим, что положительность дискриминанта и отрицательность свободного члена гарантируют существование положительного корня). <...> Пусть hi(s) ∈ H, и обозначим через bi(u), i =1, 2, точки, в которых достигается инфимум в (10) при подстановке вместо h(s) соответственно функций h1(s) и h2(s) (заметим, что такой точкой может быть и +1, Доказательство. <...> №2 11 рическое пространство, D — замкнутое подможество в X Ч Y , и пусть функция f : D → [−∞,+∞] полунепрерывна снизу. <...> Тогда <...>