Материал, включенный авторами в главы 1—4, традиционный: элементы теории неявных функций, классические методы оптимизации, симплексный метод решения задач линейного программирования и его обоснование, теория двойственности, транспортная задача, выпуклое программирование и элементы теории штрафных функций. <...> Рассмотрены основные вопросы теории матричных и биматричных игр: решения в чистых и смешанных стратегиях, теорема Неймана, связь с линейным программированием, равновесие по Нэшу, эффективность по Парето, широко используются геометрические методы. <...> Если у потребителя отношение к потребительскому набору y ( , 21 yy скому набору y ( , 21 yy ) такое, как к потребительскому набору ) , то, очевидно, отношение потребителя к потребитель) такое же, как к потребительскому набору ) находятся в отношении безразличия, если поQ = (x1 , –x1) 0 Q = (x1 , –x1) x1 x2= –x1 x2 (рис. <...> Отношение предпочтения-безразличия на множестве потребитель) ских наборов x ( , 21 xx ( x1 0 , что потребительский набор x ( , 21 xx во безразличен) потребительскому набору y ( , 21 yy 19 z w (l) , x2 0 ) определяется так: говорят, ) предпочитается (или одинако) , если потребитель из этих двух наборов выбирает первый или потребителю все равно, какой из этих двух наборов выбирать. <...> В экономических приложениях широко используются понятия выпуклого множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. <...> Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое множество — это множество, которое не имеет «вмятин» и «дыр» (см. рис. <...> Отметим, что вместо двух терминов (максимума и минимума) максимума (глобального минимума) функции y f ( , 21 xx менных 1x и 2x , если для всех точек ( , 21 xx ция f ( , 21 xx ) ( f x1 x f ( , 21 xx ( 0 , 0 2 ) Само частное значение локальный экстремум. определена, справедливо неравенство ) ). мумом (глобальным минимумом) функции y f ( , 21 xx f x1 x называется глобальным макси) . <...> Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим образом. <...> В задаче (2.2.1), (2.2.2 <...>
Количественные_методы_в_экономических_исследованиях._2-е_изд.,_перераб._и_доп._Учебник._Гриф_МО_РФ._Гриф_УМЦ_«Профессиональный_учебник»..pdf
УДК 330.43(075.8)
ББК 65â6ÿ73
Ê60
Рецензен ты:
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Ê.Â. Папенов
(зав. кафедрой экономики природопользования экономического факультета
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова)
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. Гаврилец
(зав. лабораторией «Математическая социология» ЦЭМИ РАН)
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Количественные методы в экономических исследованиях:
К60 учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям
экономики и управления / Под ред. М.В. Грачевой,
Þ.Í. ×åðåìíûõ, Å.À. Тумановой. — 2-å èçä., ïåðåðàá. и äîï. —
Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 687 ñ.
2015.
ISBN 978-5-238-02331-1
Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных
методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического
математического анализа, линейной алгебры, математического
программирования, теории игр, теории вероятностей, математической
статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные
примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных
методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных
математических дисциплин, изучение которых является обязательным
для подготовки специалистов в области экономики.
Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических факультетов
университетов и экономических вузов, экономистов, научных работников.
ББК
65â6ÿ73
ISBN 978-5-238-02331-1
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2004, 2013
Принадлежит исключительное право на использование и распространение
издания (ÔÇ ¹ 94-ÔÇ от 21 июля 2005 ã.).
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в
какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного
разрешения издательства.
© Оформление «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2013
Стр.3
От авторов
Раздел I. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава 1. Элементы математического анализа
1.1. Основы теории множеств
1.5. Теорема о неявной функции
Вопросы и задания
Глава 2. Классические методы оптимизации
2.1. Теория абсолютного экстремума
3
5
6
6
1.2. Функции двух переменных и их множества (линии) уровня 35
1.3. Частные производные, градиент и дифференциал
1.4. Однородные функции
41
48
49
55
57
57
2.2. Теория условного экстремума (случай двух переменных) 68
2.3. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум 74
2.4. Приложения теории условного экстремума
к экономической теории
86
2.5. Понятие о задаче математического программирования 91
2.6. Теория локального экстремума условного
(случай n переменных)
95
Вопросы и задания
Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАМИРОВАНИЯ И ТЕОРИЯ ИГР
Глава 3. Линейное программирование
3.1. Основные понятия линейного программирования
3.2. Свойства задачи линейного программирования
в канонической форме
3.3. Симплексный метод решения задач линейного
программирования
3.4. Альтернативные оптимальные решения
3.5. Двойственность в линейном программировании
3.6. Транспортная задача
Вопросы и задания
102
107
108
108
112
116
140
147
155
170
Стр.685
Глава 4. Выпуклое программирование
4.1. Основные понятия выпуклого программирования
4.2. Свойства выпуклых функций
4.3. Критерии выпуклости функций
4.4. Теорема Куна—Таккера
4.5. Метод штрафных функций
Вопросы и задания
Глава 5. Элементы теории игр
5.1. Основные понятия. Классификация игр
5.2. Решение матричных игр в чистых стратегиях
5.3. Решение матричных игр в смешанных стратегиях
5.4. Свойства оптимальных решений матричных игр
685
177
177
180
186
192
201
215
220
220
229
242
249
5.5. Связь теории матричных игр с линейным
программированием 254
5.6. Графический метод решения матричных игр (2½n), (m½2)
5.7. Статические игры с полной информацией
5.8. Динамические игры с полной информацией
Вопросы и задания
Раздел III. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Глава 6. Теория вероятностей
6.1. Основные понятия теории вероятностей
6.2. Пространство элементарных исходов. События
и действия над ними
264
277
303
314
323
324
325
328
6.3. Вероятность в дискретном пространстве элементарных
событий 331
6.4. Классическая вероятностная модель
6.5. Элементы комбинаторного анализа
6.6. Статистики Бозе—Эйнштейна, Ферми—Дирака,
Максвелла—Больцано
6.7. Аксиоматическое построение вероятностей
6.8. Геометрическая вероятность. Задача Бюффона
6.9. Условная вероятность. Независимость событий
6.10. Формула полной вероятности. Формула Байеса
6.11. Независимые испытания Бернулли
6.12. Предельные теоремы и приближенные формулы
6.13. Полиномиальная схема испытаний
333
334
339
340
344
346
350
354
357
363
6.14. Случайная величина в дискретном вероятностном
пространстве 365
6.15. Функция распределения случайной величины
6.16. Распределение непрерывных случайных величин
369
371
Стр.686
686
6.17. Случайный вектор в дискретном вероятностном
пространстве 374
6.18. Совместная функция распределения и совместная
плотность распределения
6.19. Функции случайных величин
6.20. Композиция законов распределения
6.21. Математическое ожидание
6.22. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
случайной величины
6.23. Ковариация. Коэффициент корреляции
6.24. Моменты высших порядков
6.25. Примеры непрерывных распределений
6.26. Условные распределения. Функция регрессии
6.27. Производящая функция
6.28. Характеристические функции
6.29. Закон больших чисел
6.30. Центральная предельная теорема
6.31. Нормальный закон распределения на плоскости
6.32. Марковские цепи
Задачи
Глава 7. Математическая статистика
7.1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочный
метод
7.2. Эмпирические законы распределения
7.3. Выборочные характеристики и точечные оценки
7.4. Эффективность ставок. Неравенство
378
388
389
393
398
402
407
409
422
427
428
431
439
444
449
457
467
467
473
477
Рао—Фреше—Крамера 483
7.5. Оценка математического ожидания по неравноточным
наблюдениям 488
7.6. Методы построения оценок
7.7. Основные распределения в статистике
7.8. Свойства конечной выборки из нормальной
генеральной совокупности. Теорема Фишера
7.11. Критерий отношения правдоподобия
7.12. Проверка гипотез для одной выборки
7.13. Проверка гипотез для двух выборок
523
7.9. Интервальные оценки параметров законов
распределения 530
7.10. Статистическая гипотеза
543
546
551
559
7.14. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для
нескольких выборок. Критерии Бартлетта и Кокрена 567
7.15. Проверка гипотез о зависимости случайных величин 570
7.16. Критерии согласия
573
491
508
Стр.687
7.17. Элементы линейного регрессионного
и корреляционного анализа
Задачи
Глава 8. Элементы теории случайных процессов
8.1. Случайные процессы: конечномерные распределения
8.2. Некоторые классы случайных процессов
8.3. Винеровский процесс
8.4. Элементы случайного анализа
8.5. Непрерывность случайных процессов
8.6. Интегрирование случайных процессов
8.7. Стохастический интеграл Ито
8.8. Стохастические дифференциальные уравнения.
Формула Ито
Глава 9. Основы теории нечетких множеств в применении
к инвестиционному проектированию
9.1. Основные положения теории нечетких множеств
и инвестиционное проектирование
687
587
595
608
608
612
616
623
632
636
643
647
8.9. Решение стохастических дифференциальных уравнений 651
660
661
9.2. Нечеткие множества. Операции над нечеткими
множествами 664
9.3. Применение нечеткой логики в экспертных системах 670
9.4. Применение аппарата нечетких множеств в анализе
проектных рисков
Вопросы и задания
Библиографический список
674
679
680
Стр.688