Понятие «математические методы» тесно связано с понятием «математические модели». <...> Приравнивая новые свободные неизвестные к нулю, получаем соответствующее системе (1.2.19) новое базисное решение: xh i== − x = = ii r r xh xj m s − sr j == + 1, ., 1, 1, ., n. ˆ , 1, 2, ., 1, 1, ., , 0, ˆ , 0, + s + Далее мы можем принять следующую свободную неизвестную за разрешающую и перевести ее в число базисных, преобразовав систему уравнений к следующему предпочитаемому виду, и так далее. <...> Еще один класс линейных соотношений между экономическими показателями связан с текущим и оперативно-календарным планированием. <...> Найдите производственную программу предприятия по известной матрице коэффициентов прямых затрат Библиорафичесийсписо 1. <...> Если функция цели линейно зависит от переменных (размеров видов деятельности или производственных процессов) и расходы ресурсов также линейно зависят от переменных, то такая задача принятия решений сводится к задаче линейного программирования (ЛП). <...> В настоящей главе рассматриваются задачи ЛП, возникающие в экономике, формулируется общая задача ЛП, описывается симплексметод ее решения и показываются способы интерпретации результатов решения. <...> Множество значений переменных, для которых функция цели ет собой плоскость уровня C вершин расположены вне получившегося допустимого многогранника. , представля62 4xx x++ С= 12 3 друг другу (ведь коэффициенты при 12 3 ,, . <...> В этой точке и достигается оптимальное решение задачи ) (2.1.2), поскольку в ней удовлетворены все ограничения данной задачи, а функция цели, т.е. прибыль, при этих условиях достигает максимума в 24 ден. ед. <...> Попытка увеличить прибыль хотя бы на небольшое значение ∆ , т.е. до 24+∆ , приведет к тому, что новая плоскость уровня 62 4xx x++ = 24 + ∆ 12 3 уже не будет пересекаться с допустимым многогранником. <...> 59 bb b>= m…… На единицу выпуска j-го продукта тре Тогда задача максимизации прибыли (дохода) предприятия при заданных ресурсах принимает следующий вид ( jx — выпуск <...>
Математические_методы_и_модели_исследования_операций._Учебник._Гриф_УМО._Гриф_УМЦ_Профессиональный_учебник.pdf
УДК 519.87(075.8)
ББК 22.18ÿ73-1
Ì34
Рецензенты:
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.À. Êàøòàíîâ;
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À.Þ. Ãîëóáèí;
ä-ð ýêîí. íàóê, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. À.Í. Êîçûðåâ;
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Â.Ñ. Ìõèòàðÿí;
ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Þ.Í. Черемных
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Математические методы и модели исследования операций:
М34 учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности
080116 «Математические методы в экономике» и другим экономическим
специальностям / под ðåä. Â.À. Колемаева. — Ì.:
ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 592 ñ.
I. Колемаев, Владимир Алексеевич, ред.
ISBN 978-5-238-01325-1
Агентство CIP РГБ
Представлены математические методы исследования и модели экономических
объектов и процессов, предназначенные (методы и модели) для обоснования
и выработки управляющих решений как в детерминированных условиях,
так и в условиях полной или частичной неопределенности, а также в динамике.
Приводятся примеры и задачи, развивающие навыки принятия
управленческих решений в экономике с применением математических методов.
Для студентов, обучающихся по специальности 080116 «Математические
методы в экономике» и другим экономическим специальностям, магистрантов,
аспирантов и слушателей экономического послевузовского образования, а
также преподавателей.
ББК 22.18ÿ73-1
ISBN 978-5-238-01325-1 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2008
© Оформление «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2008
Стр.3
Олавление
Предисловие
Введение
Раздел I. Детерминированные методы принятия решений
Глава 1. Введение в линейную алгебру
1.1. Векторы и матрицы
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
1.3. Линейные уравнения в экономике
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 2. Линейное программирование
2.1. Линейное программирование в экономике
2.2. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
2.3. Двойственная задача линейного программирования
2.4. Транспортная задача
2.5. Блочно-диагональная задача
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 3. Нелинейное программирование
3.1. Нелинейное программирование в экономике
3.2. Выпуклые функции и множества
3.3. Задача выпуклого программирования
3.4. Теоретические методы решения задач нелинейного
программирования
3.5. Решение задачи выпуклого программирования
градиентным методом
Библиографический список
Глава 4. Многокритериальная оптимизация
4.1. Задача многокритериальной оптимизации.
Многокритериальная предпочтительность решений
4.2. Эффективные решения многокритериальных задач.
Различные виды эффективности
4.3. Построение Парето-эффективной границы
4.4. Процедуры решения многокритериальных задач
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 5. Дискретное программирование
5.1. Дискретное программирование в экономике
5.2. Метод прямого перебора
5.3. Решение задачи без учета целочисленности с последующим
округлением
5.4. Методы неявного перебора
5.5. Метод отсекающих плоскостей
590
3
6
9
10
10
19
39
49
51
52
52
62
79
86
102
116
117
118
118
122
128
129
139
3.6. Применение пакетов прикладных программ
для решения практических задач нелинейного программирования 141
Вопросы и задачи
148
149
150
150
152
156
159
170
172
174
174
178
179
181
183
Стр.591
5.6. Метод ветвей и границ
5.7. Экстремизация концевых функций с кусочно-линейными
ограничениями
5.8. Некоторые аспекты сложности алгоритмов дискретного
программирования
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 6. Методы анализа и оптимизации
динамических систем
6.1. Экономика как динамическая система.
Динамические элементы в экономике
6.2. Математические методы исследования экономических
систем с непрерывным временем
6.3. Анализ и синтез линейных динамических систем
6.4. Нелинейные и многосвязные динамические системы
6.5. Оптимальное управление динамическими системами.
Принцип максимума Понтрягина и принцип
оптимальности Беллмана
6.6. Дискретный принцип максимума и динамическое
программирование
6.7. Динамическая задача распределения инвестиций
между предприятиями
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 7. Оптимизационные задачи теории графов
7.1. Графы в задачах управления экономическими системами
7.2. Основные понятия теории графов
7.3. Задача о кратчайшем пути
7.4. Нахождение минимального остовного дерева
7.5. Задача о максимальном потоке
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 8. Календарное планирование
8.1. Характеристика моделей календарного планирования
8.2. Математические методы теории расписаний
8.4. Сетевое планирование
Вопросы и задачи
191
194
197
199
200
201
202
209
227
236
245
264
271
274
276
278
278
280
282
285
289
294
296
297
297
299
8.3. Математические методы решения комплекса задач распределения
производственной программы по коротким плановым периодам 341
354
374
377
Библиографический список
Глава 9. Управление запасами
9.1. Модели управления запасами в экономике
9.2. Детерминированные модели управления запасами
9.3. Управление запасами при случайном спросе
и задержке в поставках
9.4. Динамическая модель управления запасами
Вопросы и задачи
Библиографический список
378
378
382
388
405
412
418
591
Стр.592
Раздел II. Математические методы принятия решений в условиях
неопределенности
Глава 10. Классическая схема принятия решений в условиях
неопределенности
10.1. Матрицы последствий и рисков
10.2. Принятие решений в условиях полной неопределенности
10.3. Принятие решений в условиях частичной неопределенности
10.4. Риск как среднее квадратическое отклонение
10.5. Байесовский подход к принятию решений
10.6. Принятие решений в условиях неопределенности.
Двойственная задача
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 11. Некооперативные игры
11.1. Матричные игры
11.2. Отношение игроков к риску
11.3. Некооперативные биматричные игры
11.4. Непрерывные игры
11.5. Позиционные игры
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 12. Кооперативные игры
12.1. Кооперативные обобщения некооперативных игр
12.2. Поведение фирм на конкурентных рынках
12.3. Аналитическое исследование конкуренции материального
и потребительского секторов национальной экономики
12.4. Коалиционные игры
12.5. Игры в характеристической форме
12.6. Управление риском в матричной игре
Вопросы и задачи
Библиографический список
Глава 13. Введение в финансовую математику
13.1. Математические модели финансовых операций
13.2. Методы уменьшения финансового риска
13.3. Математическое моделирование рынка ценных бумаг
13.4. Биномиальная модель ценообразования акции
13.5. Биномиальная модель ценообразования опциона
13.6. Элементы актуарной математики
Вопросы и задачи
Библиографический список
Приложение 1. Доказательство необходимости условий
теоремы Куна—Таккера
Приложение 2. Справочные сведения о линейных дифференциальных
уравнениях и системах линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Приложение 3. Принцип максимума Понтрягина
Библиографический список
419
420
420
422
423
423
426
427
429
430
431
431
446
450
454
456
461
464
466
466
473
486
508
515
518
522
522
525
526
531
543
545
550
554
571
572
575
577
583
588
592
Стр.593