УДК [330.45:519.8](075.8)
ББК 65â631ÿ73-1
Ê89
Рецензенты:
кафедра «Инвестиционная политика»
Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова
(çàâ. кафедрой àêàäåìèê, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîô. Å.À. Îëåéíèêîâ);
профессор В.И. Матвеев
(кафедра «Высшая математика» РЭА им. Г.В. Плеханова)
Главный редактор издательства
кандидат юридических наук,
доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили
Кузнецов, Борис Тимофеевич.
Ê89
Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся
по специальностям экономики и управления (060000) /
Á.Ò. Êóçíåöîâ. — 2-å èçä., ïåðåðàá. и äîï. — Ì.: ЮНИТИДАНА,
— 719 ñ. — (Ñåðèÿ «Âûñøåå профессиональное
образование: Экономика и управление»).
ISBN 5-238-00754-Õ
Агентство CIP РГБ
Учебник подготовлен в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по специальностям
экономики и управления. В учебнике в систематизированном
виде рассмотрены вопросы линейной алгебры с элементами аналитической
геометрии, основы теории вероятностей, математической статистики и
финансовой математики, а также основные экономико-математические
методы и модели. Рассмотрение теоретических вопросов сопровождается
большим количеством задач и примеров.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики
и управления, аспирантов, преподавателей, а также специалистов по
прикладной экономике и финансам.
ББК 65â631ÿ73-1
ISBN 5-238-00754-Õ © Á.Ò. Êóçíåöîâ, 2002, 2004
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2004.
Воспроизведение всей книги или какой-либо
ее части любыми средствами или в какой-либо
форме, в том числе в Интернет-сети, запрещается
без письменного разрешения издательства
Стр.3
«³¨ª³µ°Æknlntqn
èjolns
, Éqtnptj¹ jsmniéj q jtjsqzq·nxrj¹ mnvunzéq¹
sjkj Ìwnéj|qq tjl knrzvéjuq q ujzéq|juq
Ænrzvé
Ïutv ntqn knrzvéj tj xrjs¹é
fsv ntqn knrzvévk
Éqtnptj¹ rvuiqtj|q¹ knrzvévk
Çvvélqtjz zv·rq
Ïutv ntqn knrzvévk
Æéj ntq¹ wévqoknlntqp knrzvévk k wé¹uvymvstvp
lnrjézvkvp xqxznun rvvélqtjz
Îjzéq|
Ìwénlnsqzns rkjléjztvp ujzéq|
¬smniéj ujzéq|
Ìiéjztj¹ ujzéq|j
èjtm ujzéq|
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj fqxznuj sqtnpt} jsmniéjq·nxrq} yéjktntqp
èn¡ntqn xqxznu jsmniéjq·nxrq} yéjktntqp wv wéjkqsy
Çéjunéj q unzvlvu viéjztvp ujzéq|
Ìiqp kql xqxznu sqtnpt} jsmniéjq·nxrq} yéjktntqp
èn¡ntqn xqxznu sqtnpt} jsmniéjq·nxrq}
yéjktntqp unzvlvu jyxxj
Æ·qxsntqn viéjztvp ujzéq| unzvlvu jyxxj
fqxznuj sqtnpt} vltvévlt} yéjktntqp
fvixzknttn otj·ntq¹ q xvixzknttn knrzvé ujzéq|
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ìxtvk jtjsqzq·nxrvp mnvunzéqq
Ëjwéjksnttn vzénorq
Íé¹uvymvstj¹ xqxznuj rvvélqtjz
bnsntqn vzénorj k ljttvu vztv¡ntqq
Ïmvs tjrsvtj vzénorj r vxq jix|qxx
Ïéjktntqn wé¹uvp
Ïxsvkqn wnéwntlqrys¹étvxzq wé¹u}
Ïmvs un ly wé¹uuq
Íy·vr wé¹u}
Стр.712
Ïéjktntqn wé¹uvp wév}vl¹np ·néno lkn ljttn zv·rq
èjxxzv¹tqn vz zv·rq lv wé¹uvp
Ïéjktntqn vréy tvxzq
Ïéjktntqn ëssqwxj
Ïéjktntqn mqwnéivs
Ïéjktntqn wjéjivs
Ïéjktntqn wsvxrvxzq k zén}unétvp xqxznun rvvélqtjz
Ïéjktntqn wé¹uvp k wévxzéjtxzkn
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Æwyrsn utv nxzkj zv·nr q q} xkvpxzkj
Ìxtvktn vwénlnsntq¹
nvunzéq·nxrqp xuxs én¡ntqp tnéjkntxzk
Ìxtvktn xkvpxzkj kwyrsvmv utv nxzkj zv·nr
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Çvuwsnrxtn ·qxsj
Ìwénlnsntqn rvuwsnrxtvmv ·qxsj
nvunzéq·nxrj¹ qtznéwénzj|q¹ rvuwsnrxtvmv ·qxsj
fkvpxzkj rvuwsnrxt} ·qxns
Òéqmvtvunzéq·nxrj¹ q wvrjojznstj¹ {véu
rvuwsnrxtvmv ·qxsj
Ævoknlntqn k xznwnt q qoksn·ntqn rvét¹
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
èjolns ,, Îjznujzq·nxrqp jtjsqo
sjkj ïqxsvkn wvxsnlvkjznstvxzq q {ytr|qq
Ìwénlnsntqn ·qxsvkvp wvxsnlvkjznstvxzq
Íénlns wvxsnlvkjznstvxzq
fkvpxzkj wénlnsvk
Ðytr|q¹ vltvp wnénunttvp q xwvxvi nn ojljtq¹
Ën¹ktn {ytr|qq
fsv tn {ytr|qq
Æj tnp¡qn rsjxx {ytr|qp
Ìiéjztn {ytr|qq
Íénlns {ytr|qq
Ënwénéktvxz q éjoék {ytr|qq k zv·rn
Ìxtvktn xkvpxzkj wénlnsvk
Ìwénlnsntqn wévqokvltvp q lq{{nént|qjsj
Ìxtvktn wéjkqsj lq{{nént|qévkjtq¹
Íévqokvltj¹ kx¡q} wvé¹lrvk
Íéquntntqn wévqokvlt} k ërvtvuq·nxrvu jtjsqon
Ðytr|qq tnxrvsrq} wnénuntt}
Стр.713
Íénlxzjksntqn {ytr|qp k ërvtvuqrn
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Êxxsnlvkjtqn {ytr|qp
Òv·rq ërxzénuyuj
Ënvi}vlquvn yxsvkqn ujrxquyuj q uqtquyuj {ytr|qq
bvxzjzv·tn yxsvkq¹ xynxzkvkjtq¹ ërxzénuyuj
Îvtvzvttvxz q kwyrsvxz {ytr|qp
¬xquwzvz {ytr|qp
Íéjkqsv Évwqzjs¹
Ívxzévntqn méj{qrvk {ytr|qp
Íévqokvltn q lq{{nént|qjs {ytr|qp tnxrvsrq}
wnénuntt}
éjlqntz
Ìltvévltn {ytr|qq
êrxzénuyu {ytr|qq lky} wnénuntt}
Ïxsvktp ërxzénuyu
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ënvwénlnsnttp q vwénlnsnttp qtznméjs
Ínékvviéjotj¹ {ytr|q¹ q tnvwénlnsnttp qtznméjs
Ìxtvktn xkvpxzkj tnvwénlnsnttvmv qtznméjsj
Êtznméqévkjtqn xwvxvivu ojunt wnénuntt}
Êtznméqévkjtqn wv ·jxz¹u
Ìwénlnsnttn qtznméjs
fkvpxzkj vwénlnsnttvmv qtznméjsj
Ìwénlnsnttp qtznméjs rjr {ytr|q¹ kné}tnmv wénlnsj
Ìxtvktj¹ {véuysj qtznméjstvmv qx·qxsntq¹
Ënxvixzknttn qtznméjs
bkvptn q zévptn qtznméjs
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj è¹l
Ìwénlnsntqn ·qxsvkvmv é¹lj
f}vlquvxz wvsv qznst} é¹lvk
f}vlquvxz wévqokvst} é¹lvk
Ðytr|qvtjstn é¹l
èjosv ntqn {ytr|qp k xznwnttn é¹l
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj bq{{nént|qjstn yéjktntq¹
bq{{nént|qjstn yéjktntq¹ wnékvmv wvé¹lrj
bq{{nént|qjstn yéjktntq¹ x éjolns¹íquqx¹
wnénunttuq
Стр.714
Éqtnptn lq{{nént|qjstn yéjktntq¹
Ïéjktntqn Ènétyssq
bq{{nént|qjstn yéjktntq¹ kzvévmv wvé¹lrj
Éqtnptn lq{{nént|qjstn yéjktntq¹
x wvxzv¹ttuq rvë{{q|qntzjuq
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
èjolns ,,, Ìxtvk znvéqq knév¹ztvxznp q ujznujzq·nxrvp
xzjzqxzqrq
sjkj êsnuntz znvéqq knév¹ztvxznp
Ìxtvktn wvt¹zq¹
Ònvénu xsv ntq¹ q yutv ntq¹ knév¹ztvxznp
Ívstj¹ knév¹ztvxz
Ðvéuysj Èjpnxj
Ònvénuj v wvkzvéntqq vwzvk
djrvt éjxwénlnsntq¹ xsy·jptvp knsq·qt
Îvuntz éjxwénlnsntq¹ xsy·jptvp knsq·qt
Òqw ojrvtvk éjxwénlnsntq¹ xsy·jpt} knsq·qt
djrvt éjktvunétvp wsvztvxzq
djrvt Íyjxxvtj
Ëvéujstp ojrvt éjxwénlnsntq¹
djrvt éjxwénlnsntq¹ xqxznu xsy·jpt} knsq·qt
Ònvéq¹ xsy·jpt} wév|nxxvk
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ìxtvk xzjzqxzqrq
fzjzqxzqrj q nn ojlj·q
ntnéjstj¹ xvkvrywtvxz q kivérj
qxzvméjuuj fzjzqxzq·nxrj¹ {ytr|q¹ éjxwénlnsntq¹
ïqxsvkn }jéjrznéqxzqrq kivév·tvmv éjxwénlnsntq¹
Ìxtvktn xzjzqxzq·nxrqn éjxwénlnsntq¹
bvknéqznstn qtznékjs q lvknéqznstn wénlns
bvknéqznstp qtznékjs ls¹ ujznujzq·nxrvmv
v qljtq¹ tvéujstvmv éjxwénlnsntq¹
bvknéqznstp qtznékjs ls¹ lqxwnéxqq tvéujstvmv
éjxwénlnsntq¹
Ìwénlnsntqn ojrvtj éjxwénlnsntq¹ xsy·jptvp knsq·qt
Êxxsnlvkjtqn xsy·jpt} ojkqxquvxznp
Çvééns¹|qvttv énménxxqvttp jtjsqo
Íévknérj wénlwvxsvr énménxxqvttvmv jtjsqoj
Ì|ntrj rj·nxzkj énménxxqvttvp uvlnsq
Ìltv{jrzvétp rvééns¹|qvttv énménxxqvttp
jtjsqo
Стр.715
Îtvmv{jrzvétp rvééns¹|qvttv énménxxqvttp
jtjsqo
Ðytr|q¹ énménxxqq
Çvë{{q|qntz utv nxzknttvp rvééns¹|qq
dtj·quvxz rvë{{q|qntzj utv nxzknttvp
rvééns¹|qq
Îjzéq|j rvkjéqj|qp
dtj·quvxz rvë{{q|qntzvk énménxxqq
Ì|ntrj xznwntq sqtnptvp tnojkqxquvxzq {jrzvévk
léym vz léymj
Ì|ntrj xznwntq sqtnptvp kojquvxk¹oq un ly
ojkqxquvp wnénunttvp q rj lu qo {jrzvévk
¬kzvrvééns¹|q¹ vxzjzrvk
bvknéqznstn qtznékjs énménxxqq q v¡qirj
wévmtvoj
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
èjolns ,9 êrvtvuqrv ujznujzq·nxrqn unzvl
sjkj
Éqtnptvn wévméjuuqévkjtqn
djlj·j ujznujzq·nxrvmv wévméjuuqévkjtq¹
Òqw ojlj· sqtnptvmv wévméjuuqévkjtq¹
djlj·j sqtnptvmv wévméjuuqévkjtq¹ ls¹ lky}
wnénuntt}
Æwyrsn utv nxzkj zv·nr
Æwyrsn utv nxzkj k utvmvunétvu wévxzéjtxzkn
éj{q·nxrqp unzvl én¡ntq¹ ojlj· sqtnptvmv
wévméjuuqévkjtq¹
fquwsnrx unzvl én¡ntq¹ ojlj· sqtnptvmv
wévméjuuqévkjtq¹
fquwsnrx zjisq|
Înzvl qxryxxzknttvmv ijoqxj
gnsv·qxsnttvn sqtnptvn wévméjuuqévkjtqn
Æojqutv lkvpxzknttn ojlj·q sqtnptvmv
wévméjuuqévkjtq¹
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ënsqtnptvn wévméjuuqévkjtqn
Înzvl utv qznsnp Éjméjt j
Çsjxxq·nxrqn unzvl vwénlnsntq¹ ërxzénuyuvk
éj{q·nxrqp unzvl
djlj·j kwyrsvmv wévméjuuqévkjtq¹
bqtjuq·nxrvn wévméjuuqévkjtqn
Îjznujzq·nxrj¹ znvéq¹ vwzqujstvmv ywéjksntq¹
Ìwzqujstj¹ xzéjznmq¹ ojunt vivéylvkjtq¹
Стр.716
Ìwzqujstvn éjxwénlnsntqn qtknxzq|qp
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Êmévkn unzvl k ërvtvuqrn
Íénlunz q ojlj·q znvéqq qmé
Îjzéq·tn qmé
èjktvknxtj¹ xqzyj|q¹
fun¡jttn xzéjznmqq
éj{q·nxrqn én¡ntq¹ ujzéq·t} qmé
Íéjkqsv lvuqtqévkjtq¹
èn¡ntqn qmé x wvuví sqtnptvmv wévméjuuqévkjtq¹
Êmé x wéqévlvp
Êmé x tntysnkvp xyuuvp
Çvvwnéjzqktn qmé
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Înzvl xnznkvmv wsjtqévkjtq¹ q ywéjksntq¹
éj{
fqxznuj xnznkvmv wsjtqévkjtq¹ q ywéjksntq¹
Íéjkqsj wvxzévntq¹ xnznk} méj{qrvk
Æénunttn wjéjunzé xnznk} méj{qrvk
ènonék kénuntq
fnznkvn wsjtqévkjtqn wéq xsy·jptvu }jéjrznén
wévlvs qznstvxzq éjivz
Çvë{{q|qntz tjwé¹ nttvxzq éjivz
¬tjsqo q vwzquqoj|q¹ xnznkvmv méj{qrj
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj fqxznu ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹
Ìxtvktn wvt¹zq¹ znvéqq ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹
Îjérvkxrqp xsy·jptp wév|nxx
Ívzvrq xvizqp
Ïéjktntq¹ Çvsuvmvévkj
Ðqtjstn knév¹ztvxzq xvxzv¹tq¹ xqxznu
ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹
Íév|nxx mqinsq q éjoutv ntq¹
fqxznuj ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹ x vzrjojuq
Ìltvrjtjstj¹ xqxznuj ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹
x tnvméjtq·nttvp v·nénlí
Îtvmvrjtjstj¹ xqxznuj ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹
x tnvméjtq·nttvp v·nénlí
fqxznuj ujxxvkvmv vixsy qkjtq¹ x vméjtq·nttvp
v·nénlí
Ìltvrjtjstj¹ fÎÌ x vméjtq·nttvp v·nénlí
Стр.717
Îtvmvrjtjstj¹ fÎÌ x vméjtq·nttvp v·nénlí
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
èjolns 9 êrvtvuqrv ujznujzq·nxrqn uvlnsq
sjkj
Ïwéjksntqn ojwjxjuq
Ìwzquqoj|q¹ ywéjksntq¹ ojwjxjuq
fzjzq·nxrj¹ vltvtvuntrsjzyétj¹ lnznéuqtqévkjttj¹
uvlns ino ln{q|qzj
fzjzq·nxrj¹ vltvtvuntrsjzyétj¹ lnznéuqtqévkjttj¹
uvlns x ln{q|qzvu
fzjzq·nxrj¹ utvmvtvuntrsjzyétj¹ lnznéuqtqévkjttj¹
uvlns ino ln{q|qzj
fzv}jxzq·nxrj¹ vltvtvuntrsjzyétj¹ uvlns
wéq xsy·jptvp knsq·qtn xwévxj
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj
êsjxzq·tvxz {ytr|qq q nn wéquntntqn k ërvtvuqrn
Ìwénlnsntqn ësjxzq·tvxzq {ytr|qp
Ìxtvktn xkvpxzkj ësjxzq·tvxzq
Ðytr|qq xwévxj q wénlsv ntq¹
Íéquntntqn ësjxzq·tvxzq k ërvtvuqrn
Ëjsvmvkj¹ wvsqzqrj q ësjxzq·tvxzq xwévxj
q wénlsv ntq¹
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj
djlj·j wvzéniqznsxrvmv kivéj
Ðytr|q¹ wvsnotvxzq
Éqtqq inoéjosq·q¹
Ìwzquqoj|q¹ {ytr|qq wvsnotvxzq
djlj·j wvzéniqznsxrvmv kivéj ls¹ wévqokvstvmv
·qxsj zvkjévk
Ïéjktntqn fsy|rvmv
Çéqkn ©lv}vl²wvzénisntqnª
Çéqkn ©|ntj²wvzénisntqnª
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj
Íévqokvlxzknttn {ytr|qq
Ìwénlnsntqn wévqokvlxzknttvp {ytr|qq
Òqw wévqokvlxzkntt} {ytr|qp
fkvpxzkj wévqokvlxzknttvp {ytr|qq
Îyszqwsqrjzqktj¹ wévqokvlxzknttj¹ {ytr|q¹
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
Стр.718
sjkj Ívknlntqn {qéu tj étrn
Îvlnsq étv·t} xzéyrzyé
Ívknlntqn {qéu k yxsvkq¹} xvkné¡nttvp
rvtryént|qq
Ívknlntqn {qéu k yxsvkq¹} uvtvwvsqq
Ívknlntqn {qéu k yxsvkq¹} tnxvkné¡nttvp
rvtryént|qq
èjktvknxqn Çyétv
èjktvknxqn q tnéjktvknxqn fzjrnsinémj
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Îvlnsq ërvtvuq·nxrvmv éjktvknxq¹
Íjyzqtvviéjotj¹ uvlns
ê{{nrzqktvxz wv Íjénzv
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Îvlnsq un vzéjxsnkvmv ijsjtxj
fzjzq·nxrqn uvlnsq un vzéjxsnkvmv ijsjtxj
k xqxznun tj|qvtjst} x·nzvk
Çvë{{q|qntz wé¹u} q wvst} ujznéqjst} ojzéjz
Íévlyrzqktj¹ ujzéq|j
bqtjuq·nxrj¹ uvlns un vzéjxsnkvmv ijsjtxj
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ìiqn uvlnsq éjokqzq¹ ërvtvuqrq
Ðjrzvé ërvtvuq·nxrvmv évxzj
Îvlns ®jéévlj²bvujéj
Îvlns fvsvy
©dvsvzvnª wéjkqsv tjrvwsntq¹
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
èjolns 9, Ðqtjtxvkj¹ ujznujzqrj
sjkj
Íévxzn q xsv tn wév|ntztn xzjkrq
Íéqt|qw tnéjktv|nttvxzq lntnm kv kénuntq
Íévxzj¹ wév|ntztj¹ xzjkrj tjéjntq¹
fsv tn wév|ntztn xzjkrq tjéjntq¹
Ï·nztn xzjkrq
Ìwénlnsntqn xévrj xxyl q knsq·qt wév|ntztvp
xzjkrq
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj Ënrvzvén visjxzq qxwvsovkjtq¹ wév|ntzt} xzjkvr
êrkqkjsntztvxz wév|ntzt} xzjkvr
Стр.719
Ï·nz qt{s¹|qq
Çvtknéxq¹ kjsíz
fwvzvkn q {vékjéltn wév|ntztn xzjkrq
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj
Ívzvrq wsjzn np
Òqw wvzvrvk wsjzn np
vlvkj¹ éntzj
èntz x tj·qxsntqnu wév|ntzvk wv tvuqtjstvp
wév|ntztvp xzjkrn
èntz x tnvltvréjztuq kwsjzjuq k mvly
èntzj x tj·qxsntqnu wév|ntzvk wv tvuqtjstvp
wév|ntztvp xzjkrn q tnvltvréjztuq kwsjzjuq k mvly
èntz x kwsjzjuq k tj·jsn q xnénlqtn wnéqvlvk
Ìzsv nttn éntz
Æn·tn éntz
Ìwénlnsntqn wjéjunzévk éntz
Ðqtjtxvkj¹ ërkqkjsntztvxz vi¹ojznsxzk
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
sjkj
Ívmj¡ntqn ojlvs nttvxzq q lv}vltvxz rénlqzt}
vwnéj|qp
Ívmj¡ntqn ojlvs nttvxzq wv xsv tvp wév|ntztvp
xzjkrn
Ívmj¡ntqn ojlvs nttvxzq wv wévxzvp wév|ntztvp
xzjkrn
Ísjt wvmj¡ntq¹ ojlvs nttvxzq wéq qxwvsovkjtqq
tjrvwqznstvmv {vtlj
Ísjt wvmj¡ntq¹ ojlvs nttvxzq wéq wvmj¡ntqq
k éjxxév·ry
Ívmj¡ntqn lvsmj éjktuq xév·tuq ywsjzjuq
bv}vltvxz xxyltvp vwnéj|qq wéq ylné jtqq
rvuqxxqvtt}
bv}vltvxz wvzéniqznsxrvmv rénlqzj
bv}vltvxz lvsmvxév·tvp rénlqztvp vwnéj|qq
x wnéqvlq·nxrvp kwsjzvp wév|ntzvk
bv}vltvxz lvsmvxév·tvp rénlqztvp vwnéj|qq
x éjktuq wnéqvlq·nxrquq kwsjzjuq
Çvtzévstn kvwévx q ojljtq¹
Èqisqvméj{q·nxrqp xwqxvr
Стр.720