А. И. Сапожников
ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗАВАРИЙНОЙ
ЭКСПЛУАТАЦИИ ЗДАНИЙ И
СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ
ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ И УРАГАНОВ
Астрахань 2015
Стр.1
2
А. И. Сапожников
ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗАВАРИЙНОЙ
ЭКСПЛУАТАЦИИ ЗДАНИЙ И
СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ
ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ И УРАГАНОВ
Допущено НМС по редакционно-издательской
деятельности при министерстве образования
и науки Астраханской области,
приказ № 629 от 25.06.2007г.
Астрахань
2015
Стр.2
3
ББК 38.5-0.28.8
С. 19
УДК 624.15.04.699.841
Рецензент: В.В. Микитянский, академик ИА,
докт. техн. наук профессор, Засл.
Деятель науки РФ, заведующий
кафедрой в АГТУ
С.19 Обеспечение безаварийной эксплуатации зданий и сооружений при
действии землетрясений и ураганов /А. И. Сапожников. – Астрахань: АГТУ,
2015. – 35с.: 11илл.
В брошюре приводится методика динамического расчета объектов с
учетом их собственных, собственных сопутствующих и вынужденных
колебаний, дан анализ особенностей поведения несущих элементов зданий и
сооружений при динамических нагрузках, предложены пути повышения их
прочности и жесткости.
© А. И. Сапожников, 2015
© АГТУ, 2015.
Стр.3
4
Введение
Разгадать причину обрушения зданий и сооружений при землетрясениях
и ураганах, - значит сохранить жизнь десяткам тысяч людей и обеспечить
целостность многих городов и целых районов.
В настоящее время такая разгадка еще не состоялась, комиссии,
обследующие последствия землетрясений и ураганов, постоянно находят
причину разрушения зданий и сооружений в низком качестве строительных
работ. Однако строительство происходит в полевых условиях и это
достигнутый уровень качества, присущий имеющимся условиям проведения
работ. Причину разрушений следует искать в кабинетах ученых и
проектировщиков. Они должны обеспечить устойчивость объектов к
проявлениям стихии при имеющемся качестве строительства.
Забегая вперед и опираясь на разумную внушаемость читателя, берусь
заявить, что обсуждаемые разрушения происходят из-за неправильного
определения сейсмических и ветровых нагрузок и из-за несоответствия
действительного поведения нагруженных конструкций характеру их
разрушения, принимаемому в расчете.
Стр.4
5
1. Определение сейсмической и ветровой нагрузки
на здания и сооружения, приведенные к осциллятору
Выбор осциллятора в качестве расчетной модели в данной работе
вызван не столько ее практической пользой, сколько желанием добиться
высокого уровня понимания студентами проблем, связанных с определением
динамических нагрузок на здания и сооружения (ЗиС), поскольку повышение
точности определения нагрузки – одна из основных задач качественного
проектирования ЗиС.
Следует сразу же уяснить разницу в передаче объекту сейсмической и
ветровой нагрузок. Первая передается кинематическим путем, т.е. в результате
поступательно-возвратного перемещения основания (по осям Х, Y, Z), по
результирующему направлению, вторая – фактическим воздействием на объект.
В том и другом варианте нагружения объекта его математическое описание
может представлять собой импульс, гармоническое воздействие, воздействие
системы гармонических сил–полигармоническое воздействие, негармоническое
и комплексное воздействие.
Следует отметить, что для зданий и сооружений, имеющих достаточно
широкий спектр частот, в то же время с близкорасположенными значениями,
импульс следует рассматривать в контексте отношения времени его действия
t и величины Т/4, где Т – период колебания объекта. Импульсом следует
считать воздействие относительно только тех форм колебаний, для которых
t Ti /4
В настоящее время нет методов определения точного значения
сейсмической нагрузки, и ее вычисляют на основе записей прошлых
землетрясений. Такой подход может дать лишь условные значения нагрузки,
во-первых, потому что каждое землетрясение индивидуально, во-вторых,
записи колебания на незастроенной территории и на основании здания могут
(должны) заметно отличаться.
Вместе с тем, следует учесть, что грунт пропускает конкретный спектр
частот, наполняемость которого так или иначе, в конце концов, удастся
определить. Сложнее, если вообще возможно, установить значения
амплитудных параметров движения земли, привязанных к той или иной частоте
ее колебания. Здесь остается принимать их значения на основе записей
прошлых землетрясений и, чтобы не полагаться на авось, проблему
сейсмостойкости зданий и сооружений решать не только путем все более
тщательного уточнения величины сейсмической нагрузки, но и путем изучения
, Ti - период колебания объекта по i - й форме. При значениях t ,
близких к величине Ti / 4 , наблюдается так называемый ударный резонанс.
Стр.5
6
их способности ее воспринимать. Из этого вытекает еще одна важная задача,
решение которой будет способствовать динамической устойчивости
сооружений. Речь идет о соответствии предполагаемого в расчете и реального
поведения нагруженных конструкций.
Но вернемся к определению сейсмической нагрузки. Приняв ее в виде
одного или системы импульсов, следует вначале определить периоды
нескольких низших форм колебания рассматриваемого объекта, с целью
сравнения величин
TК / 4 r
t и / 4 iT , где i =1; 2; 3; …, К, при которых выполняется
условие, что t TК / 4, и эти К форм рассчитывать на импульсивное
воздействие. Для номеров i > К следует осуществлять расчет на «ударный
резонанс», когда
форм колебания со значениями TК /4 5,1
описывается функцией Psin
t
i tt
i
i
t T / 4, где между К и r располагается несколько
t . В этом интервале нагрузка
1 , действующей на полупериоде – от ti = 0 до
ti+1 = T/2, или на четверти периода – от ti=0 до ti+1=T/4.
Давление ветра на здание статическим называется условно, на самом
деле это длинопериодное воздействие, продолжительность которого
существенно превышает четверть периода, т.е.
пульсации ветра, у которых
g T g / 4.
Поскольку эти воздействия проявляются одновременно, их
математическая характеристика описывается простейшей функцией
S t( )
fg sin
t
Tg
fK sin
t
TK
.
в ряд Фурье ветрового воздействия, т.е. содержать еще и члены f cos
имеющие в момент времени t=0 численное значение, т. к. c 0 1
В общем случае это равенство должно представлять собой разложение
t
T
,
os . Иными
словами, как и при землетрясении, нагрузка порождает начальные условия:
косинусы – начальные смещения; синусы – скорости (или импульсы). Ветровое
воздействие передается зданию, в отличие от сейсмического воздействия,
динамическим, а не кинематическим путем. Начальные условия вносят свой
вклад в величину ветрового воздействия.
Приведем качественные характеристики ветрового воздействия: gT =15с,
TK =3с,
fg kq
og ,
fK kq
oK , где k – ветровая характеристика района.
g T g / 4, где Т – период
колебания здания.
Помимо длинопериодных, имеются еще динамические краткопериодные
Стр.6
7
Рассмотрим решение задачи при действии импульса. Его величина So
определяется из известного равенства теоретической механики для количества
движения mV = F Δt = So, т. е. Vk= So/m.
Уравнение колебаний осциллятора имеет вид
Μy t( ) (1
0
dt Cy t q t
d
)
где M – масса осциллятора;
С – коэффициент его жесткости;
γ _ характеристика демпфирования;
ω0 – преобладающая частота воздействия;
y – смещение осциллятора;
q – величина нагрузки,
решение, которого при q(t) = 0 и начальных условиях y(0) y , y(0) V
y V
0
вид y t( ) e A( sin
2
t
2
,
t Bcos
t) e
t
y0 cos
t
0 0 sin
При q(t) ≠ 0 решение уравнения (1) принимает вид
y t( ) e A( sin
t
t Bcos
t) 1
где А и В – произвольные постоянные.
С учетом начальных условий
( )
нагрузки q t Pcos
y t t
( )
e
y0 cos
где R P/ 2
t
0t имеем
y V
2 2
0
4 2
2
0
0 0 sin
t Rcos
t
2
q e
( )
0
y(0) y , y(0)
0
cos
Rcos( 0t ) ,
,
arctg2 0 / 2
0 V S mпри значении
0 /
t
cos
0 sin
0
2, P=q/M.
Если нагрузка представляет собой функцию P t Psin
cos , sin в последнем равенстве меняются местами.
( )
0t , то члены
sin
t
(2)
(t )
t
, где
0 - преобладающая частота внешнего воздействия.
sin
(t )d ,
0 имеет
2 2/
0 ,
( ) ( ) ,
(1)
Стр.7
8
2. Определение характера колебания зданий и
сооружений как системы с n степенями свободы
при действии динамической нагрузки
Изучение теории колебаний зданий и сооружений (а именно в этом
случае важно исследование гармонических колебаний, наиболее простых для
изучения и в то же время самых опасных) должно состоять в освоении
студентами ее алгоритмов.
Теория включает две важные задачи:
- методику исследования свободных колебаний, т.е. определения
собственных колебаний и соответствующих им изменения формы объектов;
- методику определения изменения положения объекта в течение
времени под действием приложенных к нему динамических (в том числе
гармонических) нагрузок.
Для простоты понимания материала методики излагаются на примере
системы с двумя степенями свободы.
2.1. Свободные колебания
Уравнения колебаний системы с двумя степенями свободы имеют вид
M V r V r V
M V r V r V
2 2 21 1 22 2
1 1 11 1 12 2
t
0,
0,
где Mi - массы; ijr - коэффициенты жесткости; Vi - смещения масс.
Решение задачи ищем в виде
V t1( ) V sin(1
) , V t2( ) V sin(2
которое, придадим равенствам (4) следующий вид
)
V1 V sin(1
t
11
(r M 2
r21
1
)
(r M2
22
, V2 V1 V sin(1
Подстановка (5) в (3) приводит к уравнениям
r12 0,
2) 0,
которые определят уравнение частот
(r M 2
11
1
) (r M 2
22
2
) 0 и,
r12
2
соответственно, частоты собственных колебаний 1 и 2 , а также соотношения
t
2 1
t
) ,
амплитуды отклонения образуют соотношение V V/ V /V
2 1
)
(3)
(4)
, используя
(5)
Стр.8
9
Приняв теперь V V V /V1
(1)
(1)
2
/ 1
(1)
колебания по первой форме
V V V /V1
(2)
2
/ 1
(2)
(2)
2
второй форме
V1
V2
(2)
соответствующая 1
(2)
(2)
(1)
2
V sin(
(2)
(2)
1
V1
V2
(1)
, V2
1
2
r11 M 2
r12
r11 M
r12
(1)
1 1
2
1 2
( 22
V sin(
(1)
1
(2)
2V1
1, V
(1)
(1)
2
1 1V sin(
(2)
r M
r
21
( 22
r M
r
21
2
2 2
1V1
1t 1),
1t 1),
)
(1)
2 1 )
2 ,
.
, получим уравнения
где 1 - начальная фаза,
; индекс сверху (1) – номер формы колебания; а приняв
2
, получим уравнения колебания по
2t 2),
2 1V sin(
2t 2).
Из полученного решения можно увидеть, что по каждому из главных
колебаний обе массы проходят нулевое положение и достигают максимальных
отклонений одновременно. По каждому из главных колебаний их амплитуды
находятся в постоянном соотношении ( 1
или 2 ).
Полное решение задачи имеет вид
V V1 1
V V
(1)
2 2
(1)
V1
(2)
V2
(2)
V sin(
(1)
(1)
1
1 1V sin(
1t ) V sin(
1
1
(2)
1
1t ) V sin(
2 1
(2)
2t 2),
2t 2).
(6)
Оно описывает результирующее движение объекта, которое не является
простым гармоническим колебанием, т.к. суммирует движения с различными
частотами.
1
V2 )0( V 20 ,
В равенствах (6) имеются четыре произвольные постоянные V1 , V1 ,
и 2, определяемые из следующих начальных условий V1 )0( V ,
,
(1)
V1 )0( V
10
V2 )0( V
.
20
2.2. Вынужденные колебания
Их появление вызывают силы
1 P1sin( kt ) ,
1p
2 P2 sin( kt ) ,
представляющие правую часть уравнений (3).
Решение ищем в виде
V1p V sin( kt ) , V2p V sin( kt )
2p
(8)
(7)
(2)
10
Стр.9
10
Тогда
11
V1 p V sin(2
1pk
(r M k )V1p r12V2 р Р1,
2
2
1
r V (r M k )V2 p Р2,
21 1р
22
1
откуда
kt ) ,
V2 p V 2
2 pk
V 1p
11
sin( kt ) . Подставив эти
равенства в уравнение (3) с правой частью (7), получим
1 ( 22
1
V 2 p
(r M k r M k ) r12
11
P r M k ) Pr1 12
2
2 ( 11
2
1
22
1
)(
22
2
Подставив Vip в (8), устанавливаем: вынужденные колебания являются
гармоническими и имеют частоту и фазу возбуждающих сил. Полное решение
задачи будет таким
(1)
V2 1 1V sin 1t 1
V1 V sin 1t 1 1V sin 2t 2 V1p sinkt
(1)
(2)
1
2 1V sin 2t
(2)
,
2 V2 p sinkt
.
2.3. Вынужденные колебания при нагрузке общего вида
Рассматривается решение уравнений (3) с силами, представляющими ее
правую часть, P1( )t и
P2( )t . Имеем систему уравнений
M V t
2 2
V t 1
i
1
V t
( )
( )
i
2
11 1
21 1
( ) V sin(
( )
( ) V sin(
( )
i
i
2
it i
,
1 1 ( ) r V t( ) r V t P t( ),
M V t( ) r V t( ) r V t P t( )
12 2( ) 1
22 2( ) 2
Представим решение однородной части уравнений (9) в виде
)
it i ) ,
где i – номер формы колебания, i=1,2.
Подставим их в однородную часть уравнения (9). Тогда амплитудные
значения смещений V определятся из уравнений
r V11 1
r V21 1
( )
i
i
( )
r V
r V
( )
12 2
i
( )
22 2
i
M1 i
M 2
2 i V
2V ,
i
( )
i
1
( )
2
Если умножить каждое уравнение (10) соответственно на V1
( )K и
(10)
( )
V2
K
и сложить результаты, придавая затем индексам i и К конкретные значения
(i,К=1;2) и вычитая равенства с различными индексами, получим следующее
условие ортогональности:
M i K M V V
( )
1 1V V1
( )
( )
2 2
i K
( )
2
0, Ki
(11)
Условие (11) позволяет построить общее решение системы уравнений
(9), для чего ее грузовые члены (силы) представим в виде линейной
(9)
(r M k r M k ) r12
2
P r M k ) P r2 12
2
2
2
)(
2
2
2 ,
2 ,
Стр.10