УДК 517
ББК 22.161.616
М 266
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегаз о вые
т ехноло гии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальныхисследований по проекту
№09-01-07043.
Маркеев А. П.
Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения
спутника относительно центра масс. —М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. —
396 с.
В книге дано изложение современныхметодов исследования устойчивости материальныхсистем,
описываемых линейными дифференциальными уравнениями
Гамильтона c периодическими коэффициентами. Основное внимание уделено конструктивным,
рассчитанным на применение компьютеров, алгоритмам построения
областей параметрического резонанса.
Описываются результаты применения упомянутыхметодов и алгоритмов в целом
ряде задач об устойчивости движения спутника — твердого тела относительно
центра масс на круговой и эллиптической орбитах. Значительная часть содержащегося
в книге материала представляет собой результаты собственныхисследований
автора, некоторые из нихеще не публиковались.
Книга предназначена для инженеров, научныхработников в области прикладной
математики и механики, для студентов старших курсов и аспирантов.
ISBN 978-5-93972-729-7
А.П.Маркеев, 2009
c
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.161.616
Стр.2
Оглавление
Предисловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 9
ЧАСТЬ I. ГАМИЛЬТОНОВЫСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
11
ГЛАВА 1. Линейные системы c постоянными коэффициентами .13
§ 1. Устойчивость линейныхгамильтоновых систем c постоянными
коэффициентами . . . . . . .... .... .... ... .... 13
§ 2. Нормальная форма линейной автономной гамильтоновой системы
в случае простыхчисто мнимыхкорней характеристического
уравнения .... ... .... .... .... ... .... 15
§ 3. Нормализация системы c двумя степенями свободы в случае
двухчисто мнимых и двухнулевых корней c непростыми элементарными
делителями ... .... .... .... ... .... 20
1. О характеристическом уравнении .... .... ... .... 21
2. Нормальная форма и нормализующее преобразование .... 22
§ 4. О нормализации системы c двумя степенями свободы в случае
кратныхчисто мнимыхкорней ... .... .... ... .... 24
ГЛАВА 2. Линейные системы c периодическими коэффициентами 26
§ 1. Общие сведения . .... ... .... .... .... ... .... 26
§ 2. Устойчивость линейныхгамильтоновых систем c периодическими
коэффициентами . . . . .... .... .... ... .... 29
§ 3. Нормализация гамильтоновой системы линейныхуравнений
c периодическими коэффициентами . .... .... ... .... 31
§ 4. Система c одной степенью свободы . .... .... ... .... 33
1. Характеристическое уравнение и условия устойчивости . . 33
2. Построение нормализующего преобразования . ... .... 36
§ 5. О характеристическом уравнении системы c двумя степенями
свободы . .... .... ... .... .... .... ... .... 38
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 3. Задача о параметрическом резонансе .. .. .. .
. .
. 41
§ 1. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр 41
§ 2. Параметрический резонанс в системе c одной степенью свободы 45
§ 3. О комбинационном резонансе в системе c двумя степенями
свободы . .... .... ... .... .... .... ... .... 51
1. Случай, когда частоты колебаний системы при ε =0 различны
. .... .... ... .... .... .... ... .... 51
2. Один частный случай равныхчастот колебаний ... .... 54
ГЛАВА 4. Конструктивные алгоритмы анализа линейных систем,
содержащих малый параметр .. ... .. ... .. .. ... .. 60
§ 1. О методе Депри–Хори в теории возмущений гамильтоновых
систем .. .... .... ... .... .... .... ... .... 60
§ 2. Нерезонансный случай. Нахождение характеристических показателей
. .... .... ... .... .... .... ... .... 64
§ 3. Резонансные случаи. Построение границ областей устойчивости
и неустойчивости методом Депри–Хори .... ... .... 67
1. Система c одной степенью свободы ... .... ... .... 67
2. Система c двумя степенями свободы ... .... ... .... 71
§ 4. Кратный резонанс .... ... .... .... .... ... .... 82
1. Об алгоритме исследования .... .... .... ... .... 82
2. Резонанс ω1 = ω2 =0 ... .... .... .... ... .... 84
3. Резонанс 2ω1 = n1, ω2 =0 .... .... .... ... .... 89
4. Резонанс 2ω1 =2ω2 = n .. .... .... .... ... .... 91
5. Резонанс 2ω1 = n1, 2ω2 = n2 (n1 =0, n2 =0) . ... .... 92
ГЛАВА 5. Уравнение Матье .. .. ... .. ... .. .. ... .. 93
§ 1. Области устойчивости и неустойчивости .. .... ... .... 93
§ 2. Нормализация гамильтониана уравнения Матье . . ... .... 97
ЧАСТЬ II. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС 101
ГЛАВА 6. Спутник c трехосным эллипсоидоминерции: относительное
равновесие, колебания на эллиптической орбите ... .. 103
§ 1. Системы координат. Функция Гамильтона . .... ... .... 103
§ 2. Равновесие на круговой орбите ... .... .... ... .... 107
§ 3. Эксцентриситетные колебания .... .... .... ... .... 111
1. Нерезонансные 2π-периодические колебания (µ =1) .... 112
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
2. Резонансные 2π-периодические колебания (µ ≈ 1) . . .... 117
3. Продолжение решений по параметрам µ и e .. ... .... 124
§ 4. Об устойчивости эксцентриситетныхколебаний при наличии
пространственныхвозмущений ... .... .... ... .... 128
1. Нормализация функции Гамильтона (4.2) при e =0 . .... 130
2. Порождающие кривые для областей параметрического резонанса
.... .... ... .... .... .... ... .... 136
3. Некоторые частные случаи параметрического резонанса . . 138
4. Предельный случай θA =0 .... .... .... ... .... 150
§ 5. О точныхрешениях уравнения (3.3) .... .... ... .... 152
§ 6. Периодические колебания спутника относительно направления,
неподвижного в абсолютном пространстве .. ... .... 156
1. Случай малого эксцентриситета . .... .... ... .... 158
2. Случай почти симметричного спутника . .... ... .... 161
3. Произвольные значения параметров ... .... ... .... 163
ГЛАВА 7. Динамически симметричный спутник: регулярные прецессии
и близкие к ним движения на орбите малого эксцентриситета
. . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 166
§ 1. Уравнения движения .. ... .... .... .... ... .... 166
§ 2. Стационарные вращения (регулярные прецессии) спутника на
круговой орбите . .... ... .... .... .... ... .... 168
1. Существование стационарныхрешений. Три типа регулярныхпрецессий
.... ... .... .... .... ... .... 168
2. Об устойчивости регулярныхпрецессий .... ... .... 171
§ 3. Цилиндрическая прецессия на орбите малого эксцентриситета 177
1. Нормализация функции Гамильтона (3.2) при e =0 . .... 179
2. Резонансные кривые . ... .... .... .... ... .... 184
3. Области параметрического резонанса в первом приближении
по e .... .... ... .... .... .... ... .... 186
4. О кратном параметрическом резонансе . .... ... .... 190
§ 4. Периодические движения, рождающиеся из гиперболоидальной
прецессии . . .... ... .... .... .... ... .... 202
1. Представление решений в виде рядов .. .... ... .... 203
2. Параметрический резонанс при малыхзначениях эксцентриситета
... .... ... .... .... .... ... .... 204
§ 5. О периодическихдвижениях, рождающихся из конической
прецессии .... .... ... .... .... .... ... .... 211
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 8. Об устойчивости цилиндрической прецессии динамически
симметричного спутника на орбите произвольного эксцентриситета
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 215
§ 1. Поступательное движение .. .... .... .... ... .... 215
1. Об устойчивости при малыхзначениях эксцентриситета . . 215
2. Случай значений α, близкихк единице . .... ... .... 217
3. Результаты численного анализа при произвольныхзначенияхпараметров
.... ... .... .... .... ... .... 218
§ 2. Случай пластинки .... ... .... .... .... ... .... 219
1. Области параметрического резонанса при малых e .. .... 220
2. Области устойчивости и неустойчивости при произвольных
e . .... .... ... .... .... .... ... .... 221
§ 3. Случай почти сферического спутника .... .... ... .... 223
1. Функция Гамильтона ... .... .... .... ... .... 224
2. О невозмущенной системе (ε =0) .... .... ... .... 224
3. Об алгоритме анализа возмущенной системы .. ... .... 226
4. Некратный резонанс . ... .... .... .... ... .... 227
5. Кратный резонанс . . ... .... .... .... ... .... 228
§ 4. Стационарное вращение лунного типа (β =1) ... ... .... 234
§ 5. Стационарное вращение меркурианского типа (β =3/2) .... 238
ГЛАВА 9. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника
на круговой орбите . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 242
§ 1. Колебания несимметричного спутника в окрестности его
устойчивого равновесия в орбитальной системе координат . . . 242
1. Об устойчивости колебаний малой амплитуды . ... .... 244
2. Об устойчивости плоскихколебаний пластинки ... .... 248
3. Колебания c периодом, равным периоду обращения центра
масс по орбите .... ... .... .... .... ... .... 252
§ 2. Колебания относительно направления, фиксированного в абсолютном
пространстве . ... .... .... .... ... .... 257
§ 3. Некоторые задачи об устойчивости вращения несимметричного
спутника ... .... ... .... .... .... ... .... 260
1. Быстрые вращения .. ... .... .... .... ... .... 260
2. Вращение спутника, близкого к динамически симметричному267
3. Вращения пластинки ... .... .... .... ... .... 274
4. Плоские вращения меркурианского типа .... ... .... 283
§ 4. Плоские колебания и вращения динамически симметричного
спутника на круговой орбите .... .... .... ... .... 288
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
1. Устойчивость плоскихколебаний .... .... ... .... 290
2. Устойчивость плоскихвращений . .... .... ... .... 293
ДОПОЛНЕНИЕ. К теории резонансного вращения Меркурия .. .. 298
§ 1. Орбита малого эксцентриситета ... .... .... ... .... 299
1. Предварительное преобразование функции Гамильтона . . . 300
2. Существование и устойчивость периодическихвращений . . 301
3. Явные выражения для периодическихрешений в первом
приближении по e .. ... .... .... .... ... .... 304
4. О ветвлении обратныхвращений . .... .... ... .... 307
§ 2. Спутник, близкий к динамически симметричному ... .... 316
1. Функция Гамильтона ... .... .... .... ... .... 316
2. Существование и устойчивость периодическихвращений . . 317
3. Приближённое выражение для периодическихвращений . . 319
4. О периодическихвращениях спутника для значений e,
близкихк e∗
5. Об устойчивости вращений меркурианского типа по отношению
к пространственным возмущениям ... ... .... 328
m . .... ... .... .... .... ... .... 320
§3. Случай e =0,2056 .... ... .... .... .... ... .... 334
1. Существование 2π-периодическихдвижений .. ... .... 334
2. Устойчивость периодическихдвижений по отношению
к плоским возмущениям . . .... .... .... ... .... 336
3. Об устойчивости по отношению к пространственным возмущениям
... .... ... .... .... .... ... .... 340
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Эллиптические функции и интегралы ... .. 347
§ 1. Эллиптические интегралы .. .... .... .... ... .... 347
1. Эллиптические интегралы первого и второго рода . . .... 347
2. О параметре q .... ... .... .... .... ... .... 350
§ 2. Эллиптические функции Якоби ... .... .... ... .... 352
1. Эллиптические функции Якоби и ихсвойства . ... .... 352
2. Дзета-функция Якоби znu .... .... .... ... .... 356
3. Разложение эллиптическихфункций Якоби и функций
amu, znu в тригонометрические ряды . .... ... .... 356
4. Правила дифференцирования функций sn(u, k), cn(u, k),
dn(u, k), zn(u, k) по модулю k .. .... .... ... .... 359
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Переменные действие-угол в задаче о движении
маятника . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 362
§ 1. Фазовый портрет .... ... .... .... .... ... .... 362
§ 2. Переменные действие-угол .. .... .... .... ... .... 363
Стр.7
8ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Некоторые ряды из теории кеплеровского движения
. . . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 365
§ 1. О трёханомалиях .... ... .... .... .... ... .... 365
§ 2. Разложения в ряды ... ... .... .... .... ... .... 366
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Из теории нелинейных гамильтоновых систем . 369
§ 1. О периодическихрешенияхПуанкаре ... .... ... .... 369
§ 2. К задаче об устойчивости положения равновесия . ... .... 371
1. Получение отображения .. .... .... .... ... .... 372
2. Условия устойчивости и неустойчивости .... ... .... 373
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. О функциях Φm(e) ... .. ... .. .. ... .. 378
§ 1. Аналитическое представление при помощи функций Бесселя . 378
§ 2. Разложение в ряды по степеням e .. .... .... ... .... 380
§ 3. Свойства функций Φm(e) и ихграфики . . .... ... .... 381
Литература .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 384
Стр.8