Н.Т. Вилисова, Д.В. Власова, Ю.С. Ильина
ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрено влияние неопределенностей параметров в правой
части обыкновенных дифференциальных уравнений и систем на
поведение их решений. <...> Показано, что неопределенность параметров может оказывать не меньшее влияние на устойчивость получаемых решений, чем начальные условия. <...> Сформированы условия
существования устойчивых решений при наличии неопределенности параметров правой части уравнений. <...> Пусть некоторый реальный процесс xi (t ) или реальная система
xi (t ) описывается системой дифференциальных уравнений
xi = fi (t ,θ , x1 ,..., xn ), xi ≡
dxi
,
dt <...> (2)
где xi (t ), i = 1, …, n, — система искомых функций, описывающая
реальный процесс; t — независимая переменная; θ — вектор
параметров функций, входящих в правую часть дифференциальных
уравнений (1). <...> В теории дифференциальных уравнений достаточно хорошо исследовано влияние начальных условий (2) на решение задачи Коши <...> Так, в теории устойчивости по Ляпунову [1‒3] исследуются
условия, при которых решение задачи Коши не выйдет из некоторой
ξ -окрестности точного решения, если начальные условия не выйдут
из δ -окрестности. <...> Влияние вектора θ параметров функций на решение задачи
Коши
ISSN 1812-3368. <...> В процессе исследования поведения системы и составления математической модели изменяются не только начальные условия xi (t0 ) ,
но и вектор θ . <...> Таким образом, в задаче Коши наряду с изменением
начальных условий xi (t0 ) случайными величинами будут также
координаты вектора θ параметров. <...> Небольшие изменения координат
вектора θ могут привести к заметным изменениям в решении xi (t ) . <...> Если начальное значение x0 получило приращение Δ x0 , то приращение решения будет
Δx(t ) = Δx0 e −θ t . <...> Решение является и асимптотически устойчивым, поскольку
lim Δx0 e
t →∞
−θ t
= 0. <...> Для исследования поведения решения задачи Коши требуется
вычисление производных от решений системы дифференциальных
уравнений по начальным <...>