О ПРОБЛЕМАХ ФУКУСИМЫ И РЕКНЕРА
Рассматриваются проблемы, связанные с замыкаемостью форм
Дирихле. <...> Основной результат данной работы — решение долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной
формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются
замыкаемыми. <...> (1)
где {Ft }t>0 — возрастающее семейство σ-алгебр в Ω, такое, что Xt
измеримы относительно Ft ; вероятностная мера Px на Ω есть распределение траекторий, стартующих из точки x. <...> Предположим, что процесс (1) имеет на Rd вероятностную или неотрицательную локальноконечную стационарную меру μ. <...> Физический смысл ее таков: если в начальный момент частицы распределялись с плотностью f , то через время t они распределятся
с плотностью Tt f . <...> Генератором полугруппы называется (неограниченный) неположительный линейный оператор L с областью определения
D, такой, что Tt = etL для f ∈ D. <...> С генератором полугруппы ассоциирована неотрицательно определенная квадратичная форма E на D,
заданная соотношением E(f, g) = −(f, Lg)L2 (μ) ∀f, g ∈ D. <...> В случае,
когда вероятностная мера μ на Rd задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью %, существует диффузионный процесс ξt ,
удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению <...> Генератор L переходной поD ∇%
E
лугруппы диффузии (2) имеет вид Lf = Δf +
, ∇f . <...> (3)
В общем случае, чтобы форма Дирихле вида (3) могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее
замыкаемость [2]. <...> Оказывается, что форма Дирихле (3) может быть
замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. <...> Таким
способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса. <...> Пусть
E — квадратичная формa, определеннaя нa множестве D ⊂ L2 (X, μ). <...> Форма E, заданная на C = C0∞ (R) формулой
Z
|f 0 (x)|2 μ(dx),
E(f ) =
R
замыкаема в том и только том случае, если мера μ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, и соответствующая плотность %
такова, что для почти всех x выполнено условие
%(x) = 0
или
∃ε > 0 :
Zx+ε
x−ε
1
dt < ∞.
%(t) <...> (4)
Этот результат был обобщен в работе <...>