И. В. Бойков, Е. В. Кучумов
ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Аннотация. <...> Offered iteration methods for solution of Volterra integral equatios of first
and second kinds. <...> Введение
Интегральные уравнения Вольтерра исторически являются одним из
первых видов интегральных уравнений, ставших известными математикам. <...> Во-вторых, продолжается
исследование с различных позиций классических уравнений Вольтерра. <...> Представить подробный обзор современных публикаций, посвященных
интегральным уравнениям Вольтерра, в короткой заметке не представляется
возможным, т.к. по этой тематике ежегодно публикуется несколько сотен
статей. <...> В данной работе предлагается и обосновывается новый итерационный
метод решения интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов. <...> Стандартные методы операционного исчисления заключаются в том,
что к уравнениям (1) и (2) применяется преобразование Лапласа, которое
приводит эти уравнения к алгебраическим уравнениям
H ( p ) X ( p) = F ( p); <...> Оператор Лапласа будем обозначать буквой L : L(h) = H ( p). <...> (6)
Применяя к выражениям (5), (6) обратное преобразование Лапласа,
формально можно получить решения соответствующих уравнений. <...> Однако
из-за возможности обращения функций H ( p) или (1 H ( p )) в нуль, расходимости интегралов обратного преобразования Лапласа получение достаточно точных и устойчивых решений во многих случаях весьма проблематично. <...> Прежде чем перейти к построению итерационных алгоритмов, оценим
нормы прямого и обратного преобразования Лапласа. <...> Обозначим через c
вещественное число, определяющее полуплоскость сходимости функции
F ( p). <...> Ниже через c будем обозначать число, определяющее полуплоскости
сходимости всех используемых функций, и будем рассматривать функции
F ( p), H ( p), X ( p) при p = u iv, u = const > c, < v < . <...> Норму функции F ( p ) определим формулой
1/2 <...> (7)
Выведем формулу, аналогичную формуле Парсеваля для преобразования Фурье. <...> Применив к нему преобразование Лапласа,
приходим к уравнению (3). <...> Пусть действительное <...>