Ю. Ф. Захарова
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ФИКСИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
НА БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ
Построены оптимальные по порядку по сложности и по точности
кубатурные формулы вычисления сингулярных, гиперсингулярных и слабосингулярных интегралов с весом на классе H α…α (1) на бесконечной области
интегрирования. <...> Введение
Воспользуемся определением ε -сложности задачи S при использовании
информации η , приведенном в работе [1]. <...> Пусть η – информационный
оператор, допустимый по отношению к простейшему набору операций
P = {арифметические операции, вычисление значения функций} ,
A – некоторый алгоритм, использующий допустимую информацию η . <...> Через
comp(η( f )) обозначается информационная сложность вычисления η( f ) , т.е.
если η( f ) требует выполнения простейших операций p1 , p2 ,… , pk , то
comp(η( f )) =
k
∑ comp( pi ) .
i =1
Пусть E1 и E2 – линейные пространства; E0 – множество в линейном
пространстве E1 ; S : E0 → E2 – линейный или нелинейный оператор; ε > 0 –
вещественное число. <...> Обозначим через
Φ (ε) класс всех допустимых алгоритмов, для которых e( A) < ε , считая при
этом, что данный класс не пустой. <...> Поскольку набор простейших операций
фиксирован, зависимость сложности от P не рассматривается и сложность
алгоритма ϕ∈ Φ определяется равенством
comp(ϕ) = sup ( comp(η( f )) + comp(ϕ(η( f ))) ) .
f ∈E0
51
Известия высших учебных заведений. <...> comp(η, S , ε) = ⎨ϕ∈Φ (ε)
⎪⎩+∞, в противном случае,
где r (η, S ) – радиус информации η для задачи S ; ϕ – некоторый алгоритм
из класса всех допустимых алгоритмов Φ (ε) , называется ε -сложностью
задачи S при использовании информации η . <...> Алгоритм ϕ∈ Φ (ε) называется оптимальным по
порядку по сложности алгоритмом для задачи S при использовании <...> (τ − c) p d τ, a < c < b,
a
в смысле главного значения Коши-Адамара будем называть следующий
предел:
b
⎡ c <...> a) рассматриваемый предел существует;
б) ξ(η) имеет непрерывные производные до p − 1 порядка. <...> Определение гиперсингулярных интегралов приводит в своей работе <...> Следуя <...>