ISBN 978-5-7638-2497-1 Рассмотрены вопросы математического моделирования процессов, связанных с расчетом собственных частот, форм колебаний устройств, виброперегрузок и расчетами тепловых режимов электронных аппаратов, которые необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации радиоэлектронных устройств. <...> ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ. <...> Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ……………………………. <...> ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ………………………. <...> Начальные и граничные условия для волнового уравнения 58 3.3. <...> Определение частот и форм собственных продольных колебаний стержней …………………………… 62 Глава 4. <...> ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ………………. <...> Решение уравнения теплопроводности (диффузии) методом разделения переменных (методом Фурье). <...> ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА …………………………. <...> Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона……………………………………………………. <...> ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА …………. <...> В учебном пособии собраны материалы, относящиеся к исследованию механических колебательных и тепловых процессов в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, которые являются моделями реальных электронных конструкций, и результаты этих исследований могут быть использованы в практике инженерных расчетов. <...> В главе 1 рассмотрены вопросы математического моделирования физических процессов, в главе 2 анализируются колебательные процессы в системах с сосредоточенными параметрами, моделируемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, главы 3–5 посвящены проблемам колебательных процессов в системах с распределенными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных <...>
Методы_математической_физики.pdf
Введение
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
В. А. Барашков
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по
образованию в области радиотехники, электроники,
биомедицинской техники и автоматизации в качестве
учебного пособия для студентов вузов по направлению
210200 «Проектирование и технология электронных
средств» 31 мая 2010 г.
Красноярск
СФУ
2012
1
Стр.2
Введение
УДК 53:51(07)
ББК 22.311я73
Б245
Р е ц е н з е н т ы:
Т. Т. Ереско, д-р техн. наук, зав. кафедрой «Основы конструирования
машин» Сибирского государственного аэрокосмического университета
им. акад. М. Ф. Решетнёва;
В. В. Патрушев, д-р техн. наук, вед. науч. сотр. Института химии
и химической технологии СО РАН
Барашков, В. А.
Б245
Методы математической физики : учеб. пособие / В. А. Барашков.
– Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. – 152 с.
ISBN 978-5-7638-2497-1
Рассмотрены вопросы математического моделирования процессов, связанных
с расчетом собственных частот, форм колебаний устройств, виброперегрузок
и расчетами тепловых режимов электронных аппаратов, которые необходимо
учитывать при проектировании и эксплуатации радиоэлектронных устройств.
Описаны отдельные динамические характеристики элементов конструкций
электронной техники, приводимые к системам с сосредоточенными и распределенными
параметрами.
Предназначено для студентов всех специальностей и направлений укрупненных
групп 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь» и 200000
«Приборостроение и оптоэлектроника».
УДК 53:51(07)
ББК 22.311я73
ISBN 978-5-7638-2497-1
Сибирский федеральный
университет, 2012
2
Стр.3
Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………....................................................... 5
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ……………………..…… 7
1.1. Дифференциальные уравнения и методы их решения… 8
1.2. Аналоговое моделирование для решения задач
математической физики……………………………………… 11
Глава 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ИССЛЕДОВАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ..…………………… 15
2.1. Моделирование колебаний механической системы
с одной степенью свободы……………………………………. 15
2.2. Решение обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами ……………………………. 18
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ……………………….. 50
3.1. Задачи, приводящие к волновому уравнению……………… 50
3.2. Начальные и граничные условия для волнового уравнения 58
3.3. Решение волнового уравнения. Метод Фурье
(метод разделения переменных)……………………………… 59
3.4. Определение частот и форм собственных
продольных колебаний стержней …………………………… 62
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ………………..……….. 70
4.1. Основные понятия из теории тепломассообмена …………... 70
4.2. Основы теории теплопроводности ………………………… 71
4.3. Внешняя теплопроводность (теплообмен на поверхности) 78
4.4. Анализ начальных и граничных условий для задач
на теплопроводность…………………………………………. 80
4.5. Уравнение диффузии ………………………………………… 82
3
Стр.4
Оглавление
4.6. Обобщенное дифференциальное уравнение диффузии…. 85
4.7. Анализ начальных и граничных условий для задач
на диффузию ………………………………………………… 86
4.8. Решение уравнения теплопроводности (диффузии)
методом разделения переменных (методом Фурье)................ 87
4.9. Преобразование Фурье …………………………………….. 92
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА …………………………... 98
5.1. Стационарные задачи на теплопроводность, приводящие
к уравнениям Лапласа, Пуассона………………………….…. 98
5.2. Основные положения гидродинамики. Потенциальное
течение жидкости……………………………………………… 103
5.3. Стационарный электрический ток …………………………... 107
5.4. Уравнения Лапласа, Пуассона ……………………………… 108
5.5. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах..……
109
5.6. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа
и Пуассона……………………………………………………... 111
Глава 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ……………………..….. 114
6.1. Задача Штурма – Лиувилля для круга ……………………… 114
6.2. Цилиндрические функции …………………………………. 115
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ………….…………………... 121
7.1. Изгибные (поперечные) колебания стержней …………….. 121
7.2. Динамические процессы в пластинах. Точное решение
для расчета собственных частот колебаний пластины……... 127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………. 131
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ………………………………… 132
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………. 148
4
Стр.5