В. В. САЛМИН, О. Л. СТАРИНОВА, К. В. ПЕТРУХИНА
МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ
ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ
ЭЛЕКТРОННЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
САМАРА
2010
2
УДК 629.7.017.1 (075)
Авторы: Салмин Вадим Викторович, Старинова Ольга Леонардовна, Петрухина Ксения Вячеславовна. <...> Изложены современные методы решения задач оптимального управления:
принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование, достаточные условия оптимальности. <...> ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ, ОСНОВАННЫХ НА
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ ................ 7 <...> Необходимые условия оптимальности управления, достаточные условия
оптимальности управления и проблема существования оптимального управления .... <...> U m - m-мерная допустимая область изменения значений управляющих переменных.
uj - управляющая координата.
u - управляющий вектор (управление). <...> X n - n-мерная допустимая область изменения значений переменных состояния х.
x i - переменная состояния (фазовая координата).
х - вектор состояния (фазовый вектор).
λi - сопряженная переменная (множитель Лагранжа).
λ - вектор сопряженных переменных (вектор множителей Лагранжа). <...> «1» - конец процесса (конечные условия).
«т» - индекс транспонирования вектора или матрицы. <...> Теория оптимальных процессов позволяет решать широкий круг практических задач
механики полета в достаточно общей постановке с учетом большинства ограничений технического характера, накладываемых на осуществимость полета ЛА. <...> Роль методов теории оптимальных процессов особенно возросла в последние в связи с широким внедрением в процесс проектирования универсальных быстродействующих вычислительных машин, а также в
связи с использованием бортовых и наземных быстродействующих управляющих устройств. <...> В данной главе приводятся основные положения математической теории оптимальных
процессов, дается математическая постановка задач оптимизации различных типов и приводятся общие методы их решения, основанные на применении <...>
Методы_и_математические_модели_оптимизации_проектных_решений_[Электронный_ресурс]_.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
В. В. САЛМИН, О. Л. СТАРИНОВА, К. В. ПЕТРУХИНА
МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ
ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ
ЭЛЕКТРОННЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
С А М А Р А
2010
Стр.1
2
УДК 629.7.017.1 (075)
Авторы: Салмин Вадим Викторович, Старинова Ольга Леонардовна, Петрухина Ксения Вячеславовна.
В
учебном пособии изложены методы оптимизации, применяемые в различных задачах
управления динамическими системами. Даются классификация и основные постановки задач
оптимизации. Изложены современные методы решения задач оптимального управления:
принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование, достаточные условия оптимальности.
Учебное
пособие предназначено для студентов специальности 160400.68 «Ракетные
комплексы и космонавтика» направления подготовки по магистерской программе «Проектирование
и конструирование космических мониторинговых и транспортных систем».
Разработано на кафедре летательных аппаратов СГАУ.
© Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева
Стр.2
3
Содержание
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................................... 6
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ, ОСНОВАННЫХ НА
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ................ 7
1.1. Техническая задача оптимального управления и ее математическая модель....................... 7
1.2. Классификация методов теории оптимальных процессов ........................................... 8
1.3. Необходимые условия оптимальности управления, достаточные условия
оптимальности управления и проблема существования оптимального управления.... 9
1.4. Общая характеристика результатов, которые могут быть получены методами
теории оптимального управления .......................................................................................... 11
1.5. Условия рационального применения методов оптимизации..................................... 11
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ....................................................................... 12
2.1. Математические модели .................................................................................................... 12
2.2. Переменные состояния (фазовые координаты) управляемого процесса................. 13
2.3. Управление ........................................................................................................................... 14
2.4. Эволюция состояния системы. Дифференциальные уравнения движения ............ 15
2.5. Функционал. Критерий качества управления .............................................................. 16
2.6. Автономные системы ......................................................................................................... 16
2.7. Допустимое программное управление ............................................................................ 16
2.8. Допустимый закон управления ........................................................................................ 18
2.9. Допустимые траектории и процессы............................................................................... 18
2.10. Граничные условия. Краевая задача............................................................................. 18
3. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ...................... 20
3.1. Основная задача оптимального программного управления...................................... 20
3.2. Основная задача оптимального координатного управления..................................... 21
3.3. Оптимальные траектории................................................................................................. 21
3.4. Геометрическая интерпретация основной задачи оптимального управления....... 22
4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОСНОВНОИ ЗАДАЧИ
ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ, ПРИНЦИП МАКСИМУМА ........................................... 24
4.1. Краткая формулировка задачи ........................................................................................ 24
4.2. Некоторые вспомогательные построения и терминология........................................ 24
4.3. Принцип максимума Л. С. Понтрягина.......................................................................... 25
4.4. Некоторые следствия принципа максимума................................................................. 28
5. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
СИНТЕЗА ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................................................ 32
5.1. Задача синтеза оптимального закона управления........................................................ 32
5.2. Принцип оптимальности динамического программирования .................................. 32
5.3. Ослабленное необходимое условие .................................................................................. 36
6. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБОГО УПРАВЛЕНИЯ............... 45
6.1. Краткая формулировка задачи ........................................................................................ 45
6.2. Процедура нахождения особого управления.................................................................. 47
6.3. Необходимое условие оптимальности особого управления........................................ 48
6.4. Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений 48
Стр.3