ISBN 978-5-7885-0954-8
© Хуснутдинов Р.Ш.,
Жихарев В.А., 2010
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник явился как результат многолетнего
преподавания авторами курса высшей математики для студентов
Казанского государственного технологического университета и
представляет собой вторую часть сборника, в которую вошли
следующие разделы программы по математическим дисциплинам:
комплексные числа, основы дифференциального исчисления
функции многих переменных, элементы скалярного и векторного
полей, основы интегрального исчисления (одномерный и многомерный случаи), криволинейный и поверхностный интегралы,
дифференциальные уравнения, ряды (числовые и функциональные) и их приложения. <...> Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа
Комплексное число z = a + bi на плоскости Oxy изобра-
uuuur
жается либо в виде точки M (a ,b) , либо вектором OM {a ,b} (рис. <...> 6.1). то комплексное число z = a + bi , записанное в алгебраической форме, можно представить в виде
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (6.3)
это тригонометрическая форма записи комплексного числа. <...> Используя формулу Эйлера
cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ , <...> Записать его в тригонометрической и показательной формах. <...> Первообразная и неопределённый интеграл и его свойства
Функция F ( x ) называется первообразной (первообраз-
ной функцией) для f ( x ) , x ∈ (a , b) , если
F ′( x ) = f ( x ) . <...> Неопределённым интегралом от функции f ( x ) (обозначение:
∫ f ( x) dz ) называется совокупность всех её первооб-
разных. <...> В
формуле (7.2) f ( x ) называется подынтегральной функцией,
f ( x ) dx - подынтегральным выражением, F ( x ) - некоторая
первообразная для f ( x ) . <...> (7.5)
где правый интеграл (в отличие от левого) должен быть берущимся. <...> Положив x = t 2 , dx = 2tdt , исходный интеграл
преобразуем в интеграл от рациональной функции:
dx
2tdt
t +1−1
dt <...> Интегрирование рациональных функций (дробей)
Рациональной функцией (дробью) называется отношение двух многочленов:
R ( x) =
Pm ( x )
pn ( x )
, <...> Интегрирование простейших дробей
Простейшими называются рациональные дроби следующих видов: <...> arctg + C .
= arctg + C =
+
3 <...>
Математика_для_экономистов_в_примерах_и_задачах._Часть_II._Учебное_пособие.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
Р.Ш. Хуснутдинов, В.А. Жихарев
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть II
Учебное пособие
Казань
КГТУ
2010
Стр.1
УДК 517
ББК 22.1
Р.Ш. Хуснутдинов
Математика для экономистов в примерах и задачах.
Ч. II: учебное пособие/ Р.Ш. Хуснутдинов, В.А. Жихарев. -
Казань: Изд-во КГТУ, 2010, 362с.
ISBN 978-5-7885-0954-8
Приведены необходимые теоретические сведения и
формулы, даны решения типовых задач, приведены задачи и
упражнения с пояснениями и ответами, а также варианты
контрольных работ и расчётных заданий.
Пособие предназначено для студентов, аспирантов и
преподавателей социально-экономических специальностей,
а также для лиц, использующих экономико-математические
методы в своей практической работе.
Подготовлено на кафедре высшей математики.
Библиогр. 11 назв.
Печатается по решению учебно-издательского совета
Казанского государственного технологического университета.
Рецензенты:
зав.
кафедрой математического анализа ТГГПУ д-р
физ. мат. наук, профессор Ф.Г. Мухлисов,
профессор кафедры высшей математики КГАСУ
И.П. Семёнов.
ISBN 978-5-7885-0954-8
© Хуснутдинов Р.Ш.,
Жихарев В.А., 2010
2
Стр.2
Предисловие .
.
.
.
.
СОДЕРЖАНИЕ
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
6.2. Геометрическое изображение комплексного числа.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.4. Интегрирование рациональных функций (дробей) . .
7.5. Интегрирование иррациональных функций . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.7. Варианты контрольной работы по теме «Неопределённый
интеграл» . . . . . .
.
.
.
.
.
. . .
. . .
.
7.8. Расчётные задания по теме «Неопределённый интеграл» . . 41
8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 38
.
.
8.3. Основные методы интегрирования определённого интеграла 49
8.4. Несобственные интегралы .
8.5. Приложения определённого интеграла . . .
.
.
.
.
.
.
.
8.7. Варианты контрольной работы по теме: «Определённый
интеграл и его приложения» . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
. .
.
9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . .
9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . .
.
.
.
.
.
9.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
(второго порядка) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.3. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами . .
.
.
.
.
8.6. Применение интегрального исчисления в экономике . .
.
8.8 Расчётное задание по теме «Определённый интеграл и его
приложения» . . . . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . 47
.
. 40
. 45
8.1. Определение определённого интеграла и его свойства. . . . 45
8.2. Формула Ньютона-Лейбница . . .
. 54
. 61
. 74
. 82
. 85
.
. 93
. 93
. 107
. 125
9.4. Применение дифференциальных уравнений в экономике . . 127
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.3. Действия над комплексными числами, заданными в
тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение
корня из комплексного числа . .
.
.
.
.
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
6.1. Определения. Действия над комплексными числами . .
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
7.1. Первообразная и неопределённый интеграл и его свойства .
7.2. Таблица простейших интегралов
7.3. Методы интегрирования . . . . .
.
.
3
. 5
. 5
. 6
. 8
13
. 13
. 14
. 18
. 22
. 28
7.6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка
.
Стр.358
9.5. Варианты контрольной работы по теме «Дифференциальные
уравнения» . . . . . . . . . .
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
. 133
9.6. Расчётные задания по теме «Дифференциальные уравнения» 135
10. ФУНКЦИИ МНОГИХ (НЕСКОЛЬКИХ) ПЕРЕМЕННЫХ . 145
10.1. Топология евклидова пространства 2Ў . . . . . . . . . 145
10.2. Функции двух переменных. Линии и поверхности уровня.
Предел функции двух переменных. Непрерывность функции
двух переменных и её свойства . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . 147
10.3. Частные и полное приращение функции. Частные
производные функции двух переменных. Дифференциал
функции и его применение в приближённых вычислениях . . . 151
10.4. Производная по направлению.
Градиент функции и его свойства . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10.5. Производные и дифференциалы высших порядков . .
10.6. Дифференцирование сложных функций . . .
10.7. Экстремум функции многих переменных .
10.8. Условный экстремум . . . .
10.9. Метод наименьших квадратов .
.
.
.
.
.
.
.
.
Варианты контрольных работ по теме:
«Функции нескольких переменных» . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11.1. Двойные интегралы. Определения.
Свойства и вычисление двойного интеграла. Приложения . .
11.2. Замена переменных в двойном интеграле.
Двойной интеграл в полярных координатах . .
11.3. Вычисление статических моментов и
центра тяжести плоской фигуры . .
.
11.4. Тройной интеграл. Определения.
Свойства и вычисление. Приложения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .
.
.
358
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
11.5. Замена переменных в тройном интеграле.
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических
координатах .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12.1. Криволинейные интегралы 1-го рода (по длине дуги).
Свойства и вычисление. Приложения .
.
.
.
.
.
.
.
12.2. Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам).
Определения. Свойства и вычисления. Приложения . . . .
.
.
.
.
.
.
.
. . . 170
.
. 174
. 178
Расчётное задание по теме: «Функции нескольких переменных» 182
11. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ . . .
. 191
. 191
. 199
. 204
. 205
.
.
.
. 208
. 212
. 212
. 218
. 155
. 159
. 163
. 166
Стр.359
12.3. Связь между криволинейными и двойными интегралами.
Формула Грина. Потенциальные векторные поля
.
Варианты контрольных работ по теме:
«Кратные и криволинейные интегралы» . . . .
Расчётное задание на тему:
«Кратные и криволинейные интегралы» . . . .
13. РЯДЫ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13.1. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость ряда . . . .
13.2. Основные свойства сходящихся рядов . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13.5. Геометрические прогрессии. Гармонический ряд . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
14.1. Область сходимости. Равномерная сходимость.
Мажорируемые ряды . .
14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 223
. 229
. 232
. 241
. 241
. 243
13.3. Необходимый признак сходимости числовых рядов . . . . 243
13.4. Критерий Коши сходимости числовых рядов
13.6. Числовые ряды с положительными членами и их сравнение 247
13.7. Знакочередующиеся ряды. Ряды Лейбница
13.8. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды .
.
.
.
.
.264
. . 264
14.2. Степенные ряды. Радиус и интервал
сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов . . . . 271
14.3. Разложение функций в степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена . . .
14.4. Приложения степенных рядов . .
.
15. РЯДЫ ФУРЬЕ . .
.
.
.
.
.
15.1. Периодические функции . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . 275
.
Варианты контрольной работы по теме «Ряды» . . . . . .
Расчётное задание по теме «Ряды» . . . . . .
.
.
.
.
15.4. Определение ряда Фурье. Формулы для нахождения
коэффициентов Фурье . .
.
T 2l=
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15.5. Сходимость ряда Фурье. Теорема Дирихле .
15.6. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций .
.
.
.
.
.
15.7. Разложение в ряд Фурье периодических функций
с периодом
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
. 280
. . 289
.
.
. 286
. 295
15.2. Некоторые интегралы от периодических функций . . . . . 295
15.3. Интегралы от чётных и нечётных функций .
. . . 295
.
.
.
.
.
.
.
.
. 296
. . . 296
.
.
.
. 304
15.8. Разложение в ряд Фурье непериодических функций . . . . 309
16. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
359
. 298
. 301
. 245
. 246
. 259
. 261
Стр.360
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. МЕТОД ФУРЬЕ . . . . . 314
16.1. Решение уравнения колебания струны . .
16.2. Распространение тепла в конечном стержне .
Литература . . . .
Ответы . . .
Содержание. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
. . . .
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 314
. 317
322
. 323
. 358
360
Стр.361